توالی فیبوناچی

دنباله فیبوناچی برای اولین بار توسط یک ایتالیایی به نام لئوناردو پیسانو بوگولو (فیبوناچی) یافت شد. دنباله فیبوناچی دنباله ای از تعداد کل: 0 ، 1 ، 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 8 ، 13 ، 21 ، 34 ،. این یک توالی نامتناهی است که با 0 و 1 شروع می شود و هر اصطلاح مجموع دو اصطلاح قبلی است. این سکانس "کد مخفی طبیعت" نامیده شده است.

ما می توانیم توالی فیبوناچی را در الگوهای مارپیچی آفتابگردان ها ، مروارید ، کلم بروکلی ، گل کلم و صدف ها مشاهده کنیم. بگذارید درباره آن و خصوصیات جالب آن اطلاعات بیشتری کسب کنیم.

توالی فیبوناچی چیست؟

توالی فیبوناچی دنباله ای است که با اصطلاحات بی نهایت 0 ، 1 ، 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 8 ، 13 ، 21 ، 34 ، تشکیل شده است. به عبارت ساده ، این دنباله ای است که در آن هر عدد در دنباله فیبوناچی جمع دو عدد است که در دنباله قبل از آن است. دو اصطلاح اول آن 0 و 1 است. شرایط این دنباله به شماره های فیبوناچی شناخته می شود. 20 اصطلاح اول دنباله فیبوناچی به شرح زیر است:

در اینجا ، ما می توانیم مشاهده کنیم که f_n = F_n-1 + F_n-2 for every n>1. به عنوان مثال:

مارپیچ فیبوناچی

توالی فیبوناچی به عنوان مارپیچ نشان داده شده در زیر نشان داده شده است. مارپیچ نشان دهنده الگوی اعداد فیبوناچی است. این مارپیچ با یک مستطیل شروع می شود که طول و عرض آن نسبت طلایی را تشکیل می دهد (1. 618). این مستطیل به دو مربع تقسیم می شود. سپس مربع ها بیشتر تقسیم می شوند. با اتصال گوشه های جعبه ها ، مارپیچ در داخل این مربع ها کشیده می شود. اعداد بیشتر در توالی فیبوناچی ، نسبت به نسبت طلایی نزدیکتر می شود.

در این مارپیچ فیبوناچی ، هر دو اصطلاح متوالی دنباله فیبوناچی طول و عرض یک مستطیل را نشان می دهد. بگذارید نسبت هر دو اصطلاح پی در پی توالی فیبوناچی را محاسبه کنیم و ببینیم که چگونه آنها نسبت طلایی را تشکیل می دهند.

به این ترتیب ، هنگامی که مستطیل بسیار بزرگ است ، ابعاد آن بسیار نزدیک است تا یک مستطیل طلایی تشکیل شود.

فرمول توالی فیبوناچی

فرمول توالی فیبوناچی برای "f_n"با استفاده از فرمول بازگشتی با تنظیم F تعریف شده است₀= 0 ، f₁= 1 ، و با استفاده از فرمول زیر برای یافتن f_nوادفرمول فیبوناچی به شرح زیر آورده شده است.

توجه داشته باشید که f₀در اینجا به عنوان اولین اصطلاح گفته می شود (اما نه f₁). بنابراین ، f_nمدت (N + 1) توالی فیبوناچی را در اینجا نشان می دهد.

خصوصیات توالی فیبوناچی

خصوصیات جالب توالی فیبوناچی به شرح زیر است:

1) اعداد فیبوناچی مربوط به نسبت طلایی است. هر شماره فیبوناچی را می توان با استفاده از نسبت طلایی ، f محاسبه کرد_n= (φ n - ( 1-φ) n)/√5 ، در اینجا φ نسبت طلایی و φ ≈ 1. 618034 است.

برای یافتن دوره هفتم ، ما را اعمال می کنیم₇= [(1. 618034) 7 - (1-1. 618034) 7] / √5 = 13

2) نسبت اعداد فیبوناچی پی در پی "نسبت طلایی" نامیده می شود. بگذارید A و B دو عدد متوالی در دنباله فیبوناچی باشند. سپس B/A به نسبت طلایی همگرا می شود. برای یافتن هر اصطلاح در دنباله فیبوناچی ، می توانیم فرمول فوق را بمالیم.

فقط با ضرب شماره فیبوناچی قبلی با نسبت طلایی (1. 618034) ، شماره فیبوناچی تقریبی را دریافت می کنیم. به عنوان مثال ، 13 عدد در دنباله و 1. 618034 13 13 است.= 21. 034442. این به شماره فیبوناچی بعدی 21 بعد از 13 در دنباله می دهد.

2) دنباله را رعایت کنید تا الگوی جالب دیگری پیدا کنید. هر عدد 3 در دنباله (شروع از 2) چند برابر 2 است. هر شماره 4 در دنباله (شروع از 3) چند برابر از 3 و هر شماره 5 (شروع از 5) چند برابر از 5 است. و غیره

3) دنباله فیبوناچی نیز زیر صفر نیز کار می کند. ما f می نویسیم_-n= (-1) n+1 f_nوادبه عنوان مثال ، f_-4= (-1) 5. f₄= (-1) 3 = -3.

4) مبلغ n شرایط توالی فیبوناچی توسط σ داده شده است_i=0n f_i = F_n+2 - F₂(یا) f_n+2- 1 ، جایی که f_nشماره فیبوناچی n است.(توجه: اصطلاح اول از f شروع می شود₀)

به عنوان مثال ، مجموع 10 اصطلاح اول دنباله = دومین دوره - 1 = 89 - 1 = 88. می تواند از نظر ریاضی به صورت σ نوشته شود_i=09 f_i = F₁₁- 1 = 89 - 1 = 88.

برنامه های توالی فیبوناچی

توالی فیبوناچی را می توان در تعداد متنوعی از زمینه ها از طبیعت ، موسیقی و بدن انسان یافت.

• در گروه بندی اعداد و نسبت درخشان در موسیقی به طور کلی استفاده می شود.
• مورد استفاده در برنامه نویسی (الگوریتم های رایانه ، اتصال موازی و سیستم های توزیع شده)
• در زمینه های بیشمار علوم از جمله علوم فیزیکی پر انرژی ، مکانیک کوانتومی ، رمزنگاری و غیره.

می توانید از ماشین حساب Fibonacci استفاده کنید که به محاسبه توالی فیبوناچی کمک می کند. برای درک بهتر فرمول فیبوناچی به چند نمونه حل شده نگاه کنید.

مقالات مرتبط:

نمونه هایی از توالی فیبوناچی

مثال 1: در صورتی که اصطلاحات 10 و یازدهم به ترتیب 34 و 55 باشد ، دومین دوره توالی فیبوناچی را پیدا کنید.

راه حل:

با استفاده از فرمول بازگشتی توالی فیبوناچی ، می توان گفت که دوره دوازدهم مجموع 10 دوره و یازدهم است.

ترم 12 = ترم پنجم + دوره یازدهم

پاسخ: دومین دوره 89 است.

مثال 2: F₁₄در دنباله فیبوناچی 377 است. اصطلاح بعدی را پیدا کنید.

راه حل:

ما می دانیم که f₁₅ = F₁₄نسبت طلایی.

F₁₅= 377 × 1. 618034

پاسخ: F₁₅= 610.

مثال 3: با توجه به اینکه اصطلاحات نهم و 10 در دنباله 21 و 34 است ، مقدار دوازدهم و 13 دوره توالی فیبوناچی را محاسبه کنید.

راه حل

با استفاده از فرمول می توان گفت که دوره یازدهم مبلغ نهم و دوره 10 است.

ترم 11 = 9 ترم + 10 ترم = 21 + 34 = 55

اکنون ، دومین دوره = 10 ترم + ترم 11th = 34 + 55 = 89

به طور مشابه ، 13 تان = یازدهم ترم + 12 ترم = 55 + 89 = 144

پاسخ: دومین دوره و 13 ترم 89 و 144 است.

با توجه به یادگیری روته ، احتمالاً مفاهیم را فراموش خواهید کرد. با Cuemath ، بصری یاد خواهید گرفت و از نتایج تعجب خواهید کرد.< SPAN> با استفاده از فرمول بازگشتی توالی فیبوناچی ، می توان گفت که دوره دوازدهم مبلغ 10 ترم و یازدهم است.