فرمول مثلث پاسکال

احتمال ستون فقرات ریاضیات است. این می گوید که چگونه یک رویداد احتمالاً رخ می دهد. این به توجیه عددی در تصمیم گیری های احتمالی تر می پردازد. احتمال بیشتر ، احتمال بیشتر یک رویداد در حال وقوع و برعکس است. مثلث پاسکال یک مفهوم زیبا از احتمال است که توسط ریاضیدان مشهور Blaise Pascal ساخته شده است که برای یافتن ضرایب در گسترش هر بیان دوتایی استفاده می شود.

مثلث پاسکال

مثلث پاسکال روشی برای دانستن ضرایب دوتایی شرایط بیان دوتایی (x + y) n است ، که در آن n می تواند هر عدد صحیح مثبت باشد و x ، y تعداد واقعی هستند. مثلث پاسکال به شکل مثلثی نشان داده شده است ، این یک نوع الگوی عدد به شکل یک ترتیب مثلثی است. این کار با 1 در بالا شروع می شود و 1 در دو طرف مثلث پایین می رود. در مثلث پاسکال ، هر عدد جدید بین دو عدد و پایین تر از آن و مقدار آن مجموع دو عدد بالا است. این مثلث در انواع مختلف شرایط احتمال استفاده می شود. در اینجا هر ردیف ضریب گسترش (x + y) n را نشان می دهد.

صفر ردیف n = 0 ، (x + y) 0

ردیف اول n = 1 ، (x + y) 1

ردیف دوم n = 2 ، (x + y) 2

ردیف سوم n = 3 ، (x + y) 3

ردیف چهارم n = 4 ، (x + y) 4

در اینجا قدرت y در هرگونه گسترش (x + y) n نشانگر ستون مثلث پاسکال است. n نمایانگر ردیف مثلث پاسکال است. ردیف و ستون در مثلث پاسکال 0 فهرست بندی شده اند.

ساخت مثلث پاسکال

ساخت مثلث پاسکال بسیار ساده است. با نوشتن فقط شماره 1 از ردیف بالا (ردیف 0) شروع کنید. به عنوان مثال ، یافتن مجموع ردیف مربع 4 و ستون 2 ، مجموع مربع ردیف 3 ستون 1 و ردیف 3 ستون 2 است. بنابراین مربع ردیف 4 ستون 2 دارای مقدار 1 + 2 = 3 است.

خواص مثلث پاسکال

1. هر شماره در مثلث پاسکال مجموع دو عدد بالاتر از آن است.
2. اعداد در یک ردیف از نظر ماهیت متقارن هستند.
3. هر عدد ضریب دوتایی را نشان می دهد.
4. اعداد در سمت چپ و راست مثلث همیشه 1 هستند.
5. ردیف نهم حاوی شماره (N+1) در آن است.

فرمول مثلث پاسکال

فرمول مثلث پاسکال برای یافتن عناصر موجود در ردیف نهم و ستون KTH مثلث است

= choose choose choose " width="" height="" /> + choose " width="" height="" />

در اینجا ، 0 ≤ Q ≤ P ، P یک شماره غیر منفی است

یا فرمول پیدا کردن شماره در ردیف نهم و ستون Rth توسط P C داده شده است_q= P!/(P - q)! q!

p C_q= P C_q-1+ p-1 c_q-1

گسترش مثلث پاسکال

همانطور که از قبل می دانیم که مثلث پاسکال ضرایب دوتایی اصطلاحات بیان دوتایی (x + y) n را تعریف می کند ، بنابراین گسترش (x + y) n است:

نمونه سوالات نمونه

سوال 1: ضریب اصطلاح x 2y را در گسترش (x + y) 3 پیدا کنید.

راه حل:

روش 1:

ما به ردیف 3 ردیف مثلث پاسکال نگاه می کنیم زیرا N ستون 3 و 1 از مثلث پاسکال است زیرا قدرت Y در اصطلاح x 2y 1 است. بنابراین ضریب 3 است.

روش 2:

ما به سادگی N C را اعمال می کنیم_rجایی که n = 3 ، r = 1.

بنابراین ضریب x 2y در گسترش (x + y) 3 3 درجه سانتیگراد است₁ = 3

سوال 2: ضریب اصطلاح x 2 y 2 را در گسترش (4x + 3y) 4 پیدا کنید.

راه حل:

روش 1:

ما به ردیف چهارم مثلث پاسکال نگاه می کنیم زیرا N 4 و 2 ستون مثلث پاسکال است زیرا قدرت Y در اصطلاح x 2 y 2 است. بنابراین تعداد مثلث پاسکال 6 است.

اما می بینیم که ضریب x 4 و y اکنون 3 است زیرا قدرت x 2 و y 2 در اصطلاح x 2 y 2 است ، بنابراین تعداد مثلث پاسکال با 4 2 و 3 2 ضرب می شود تا ضریب را پیدا کند.

ضریب = 6 x 4 2 x 3 2 = 864

روش 2:

ما به سادگی N C را اعمال می کنیم_rجایی که n = 4 ، r = 2.

بنابراین تعداد مثلث پاسکال اصطلاح x 2 y 2 در گسترش (4x +3y) 4 4 درجه سانتیگراد است₂= 6.

اما می بینیم که ضریب x 4 و y اکنون 3 است زیرا قدرت x 2 و y 2 در اصطلاح x 2 y 2 است ، بنابراین تعداد مثلث پاسکال با 4 2 و 3 2 ضرب می شود تا ضریب را پیدا کند.

ضریب = 6 x 4 2 x 3 2 = 864

سوال 3: ردیف ششم مثلث پاسکال را بنویسید

راه حل:

ردیف 6 را می توان به صورت: 6C0 6C1 6C2 6C3 6C4 6C5 6C6 نوشت

1 ، 6 ، 15 ، 20 ، 15 ، 6 ، 1

سوال 4: ضریب اصطلاح x 4 را در گسترش (2x + y) 4 پیدا کنید.

راه حل:

روش 1:

ما به ردیف چهارم مثلث پاسکال نگاه می کنیم زیرا N ستون 4 و 0 از مثلث پاسکال است زیرا قدرت Y در اصطلاح x 4 0 است. بنابراین تعداد مثلث پاسکال 1 است.

اما می بینیم که ضریب x 2 و y اکنون 0 است زیرا قدرت x 4 و y در اصطلاح x 4 است بنابراین تعداد مثلث پاسکال با 2 4 و 1 0 ضرب می شود تا ضریب را پیدا کند.

ضریب = 1 x 2 4 x 1 0 = 16

روش 2:

ما به سادگی N C را اعمال می کنیم_rجایی که n = 4 ، r = 0.

بنابراین تعداد مثلث پاسکال ترم x 4 در گسترش (2x + y) 4 4 درجه سانتیگراد است₀= 1.

اما می بینیم که ضریب x 2 و y اکنون 0 است زیرا قدرت x 4 و y در اصطلاح x 4 است بنابراین تعداد مثلث پاسکال با 2 4 و 1 0 ضرب می شود تا ضریب را پیدا کند.

ضریب = 1

سوال 5: ضریب اصطلاح XY 2 را در گسترش (2x + y) 3 پیدا کنید.

راه حل:

روش 1:

ما به ردیف 3 ردیف مثلث پاسکال نگاه می کنیم زیرا N ستون 3 و 2 از مثلث پاسکال است زیرا قدرت Y در اصطلاح XY 2 است. بنابراین تعداد مثلث پاسکال 3 است.

اما می بینیم که ضریب x 2 و y اکنون 1 است زیرا قدرت x 2 و y در اصطلاح xy 2 است بنابراین تعداد مثلث پاسکال با 2 1 و 1 2 ضرب می شود تا ضریب را پیدا کند.

ضریب = 3 x 2 1 x 1 2 = 6

روش 2:

ما به سادگی N C را اعمال می کنیم_rجایی که n = 3 ، r = 2.

بنابراین تعداد مثلث پاسکال اصطلاح XY 2 در گسترش (2x + y) 3 3 درجه سانتیگراد است₂= 3.

اما می بینیم که ضریب x 2 و y اکنون 1 است زیرا قدرت x 2 و y در اصطلاح xy^2 است بنابراین تعداد مثلث پاسکال با 2 1 و 1 2 ضرب می شود تا ضریب را پیدا کند.

ضریب = 3 x 2 1 x 1 2 = 6