زبان آماری - اقدامات گرایش مرکزی

اندازه گیری گرایش مرکزی (که به آن نیز به عنوان اقدامات مرکز یا مکان مرکزی گفته می شود) یک اقدام خلاصه است که سعی در توصیف مجموعه ای از داده ها با یک مقدار واحد دارد که نشان دهنده وسط یا مرکز توزیع آن است. سه اقدام اصلی از گرایش مرکزی وجود دارد: حالت ، میانه و میانگین. هر یک از این اقدامات نشانگر متفاوتی از ارزش معمولی یا مرکزی در توزیع را توصیف می کند.

حالت چیست؟

این حالت رایج ترین مقدار در توزیع است.

این مجموعه داده را در نظر بگیرید که سن بازنشستگی 11 نفر را در کل سال ها نشان می دهد:

54 ، 54 ، 54 ، 55 ، 56 ، 57 ، 57 ، 58 ، 58 ، 60 ، 60

این جدول توزیع فرکانس ساده داده های سن بازنشستگی را نشان می دهد.

مزیت حالت:

این حالت نسبت به میانگین و میانگین آن می تواند برای داده های عددی و طبقه بندی (غیر عددی) مزیت داشته باشد.

محدودیت های حالت:

محدودیت هایی برای استفاده از حالت است. در برخی از توزیع ها ، حالت ممکن است مرکز توزیع را به خوبی منعکس نکند. هنگامی که توزیع سن بازنشستگی از کمترین تا بالاترین مقدار سفارش داده می شود ، به راحتی می توان دریافت که مرکز توزیع 57 سال است ، اما حالت در 54 سال کمتر است.

54 ، 54 ، 54 ، 55 ، 56 ، 57 ، 57 ، 58 ، 58 ، 60 ، 60

همچنین امکان وجود بیش از یک حالت برای توزیع یکسان داده ها ، (دو ماده یا چند ماده) وجود دارد. حضور بیش از یک حالت می تواند توانایی حالت را در توصیف مرکز یا مقدار معمولی توزیع محدود کند زیرا یک مقدار واحد برای توصیف مرکز قابل شناسایی نیست.

در بعضی موارد ، به ویژه در مواردی که داده ها مداوم هستند ، توزیع ممکن است به هیچ وجه حالت نداشته باشد (یعنی اگر همه مقادیر متفاوت باشند).

در مواردی از این دست ، بهتر است استفاده از میانه یا میانگین را در نظر بگیرید یا داده ها را به فواصل مناسب گروه بندی کنید و کلاس معین را پیدا کنید.

میانه چیست؟

میانه در هنگام چیدمان مقادیر به ترتیب صعودی یا نزولی ، ارزش متوسط در توزیع است.

میانگین توزیع را به نصف تقسیم می کند (50 ٪ از مشاهدات در هر دو طرف از مقدار متوسط). در توزیع با تعداد عجیب و غریب مشاهدات ، مقدار متوسط ارزش متوسط است.

با نگاهی به توزیع سن بازنشستگی (که 11 مشاهده دارد) ، میانگین ارزش متوسط است که 57 سال است:

54 ، 54 ، 54 ، 55 ، 56 ، 57 ، 57 ، 58 ، 58 ، 60 ، 60

هنگامی که توزیع تعداد مشاهدات یکنواخت دارد ، مقدار متوسط میانگین دو ارزش میانی است. در توزیع زیر ، دو ارزش میانی 56 و 57 است ، بنابراین متوسط برابر 56. 5 سال است:

52 ، 54 ، 54 ، 54 ، 55 ، 56 ، 57 ، 57 ، 58 ، 58 ، 60 ، 60

مزیت مدیان:

میانه نسبت به میانگین کمتر تحت تأثیر قرار گرفتن در خارج از کشور و داده های کم رنگ قرار دارد و معمولاً اندازه گیری گرایش مرکزی در هنگام توزیع متقارن است.

محدودیت مدیان:

میانه را نمی توان برای داده های اسمی طبقه بندی کرد ، زیرا نمی توان آن را منطقی سفارش داد.

میانگین چیست؟

میانگین مبلغ مقدار هر مشاهده در یک مجموعه داده تقسیم بر تعداد مشاهدات است. این همچنین به عنوان میانگین حسابی شناخته می شود.

دوباره به توزیع سن بازنشستگی نگاه می کنیم:

54 ، 54 ، 54 ، 55 ، 56 ، 57 ، 57 ، 58 ، 58 ، 60 ، 60

میانگین با افزودن تمام مقادیر (54+54+54+55+56+57+57+58+58+60+60 = 623) محاسبه می شود و تقسیم بر تعداد مشاهدات (11) که برابر 56. 6 سال است.

مزیت میانگین:

میانگین می تواند برای داده های عددی مداوم و گسسته استفاده شود.

محدودیت های میانگین:

میانگین برای داده های طبقه بندی قابل محاسبه نیست ، زیرا مقادیر نمی توانند خلاصه شوند.

از آنجا که میانگین شامل هر مقدار در توزیع است ، میانگین تحت تأثیر خارج از کشور و توزیع های کم رنگ قرار دارد.

چه چیز دیگری باید در مورد میانگین بدانم؟

میانگین جمعیت توسط نماد یونانی (تلفظ "MU") نشان داده شده است. هنگامی که میانگین در توزیع از یک نمونه محاسبه می شود ، توسط نماد X̅ (تلفظ X-BAR) نشان داده می شود.

چگونه شکل توزیع بر اقدامات گرایش مرکزی تأثیر می گذارد؟

هنگامی که توزیع متقارن است ، حالت ، متوسط و میانگین همه در وسط توزیع قرار دارند. نمودار زیر یک مجموعه داده سن بازنشستگی بزرگتر با توزیع که متقارن است را نشان می دهد. حالت ، متوسط و میانگین 58 سال برابر است.

هنگامی که یک توزیع از بین می رود ، حالت رایج ترین مقدار باقی می ماند ، میانگین ارزش میانی در توزیع باقی می ماند ، اما میانگین به طور کلی "در جهت دم" کشیده می شود. در یک توزیع ناچیز ، میانه اغلب یک اندازه گیری ارجح از گرایش مرکزی است ، زیرا میانگین معمولاً در وسط توزیع نیست.

هنگامی که دم سمت راست توزیع بلندتر از سمت چپ باشد، به توزیع به صورت مثبت یا راست گفته می شود. در توزیع دارای انحراف مثبت، معمول است که میانگین به سمت دم سمت راست توزیع کشیده شود. اگرچه استثناهایی برای این قاعده وجود دارد، اما به طور کلی، بیشتر مقادیر، از جمله مقدار میانه، کمتر از مقدار میانگین هستند.

نمودار زیر مجموعه داده های سن بازنشستگی بزرگ تری را با توزیعی که به سمت راست است نشان می دهد. داده ها در طبقات گروه بندی شده اند، زیرا متغیر مورد اندازه گیری (سن بازنشستگی) پیوسته است. مد 54 سال، کلاس معین 54-56 سال، میانه 56 سال و میانگین 57. 2 سال است.

هنگامی که دم سمت چپ توزیع از سمت راست بلندتر باشد، به یک توزیع به صورت منفی یا چپ گفته می شود. در یک توزیع دارای انحراف منفی، معمول است که میانگین به سمت دم سمت چپ توزیع کشیده شود. اگرچه استثناهایی برای این قاعده وجود دارد، اما به طور کلی، بیشتر مقادیر، از جمله مقدار میانه، بیشتر از مقدار میانگین هستند.

نمودار زیر مجموعه داده های سن بازنشستگی بزرگ تری را با توزیع کج شده نشان می دهد. مد 65 سال، کلاس معین 63-65 سال، میانه 63 سال و میانگین 61. 8 سال است.

چگونه عوامل پرت بر معیارهای گرایش مرکزی تأثیر می گذارند؟

مقادیر دورافتاده مقدار(های) داده ای شدید یا غیر معمول هستند که به طور قابل توجهی با بقیه داده ها متفاوت هستند.

تشخیص نقاط پرت در یک توزیع بسیار مهم است، زیرا آنها می توانند نتایج تجزیه و تحلیل داده ها را تغییر دهند. میانگین به وجود نقاط پرت حساس تر از میانه یا حالت است.

با یک تفاوت دوباره مجموعه داده سن بازنشستگی اولیه را در نظر بگیرید. آخرین مشاهده 60 ساله با سن بازنشستگی 81 سال جایگزین شده است. این مقدار بسیار بالاتر از مقادیر دیگر است و می تواند یک مقدار پرت در نظر گرفته شود. با این حال، وسط توزیع تغییری نکرده است و بنابراین مقدار میانه آن هنوز 57 سال است.

54، 54، 54، 55، 56، 57، 57، 58، 58، 60، 81

از آنجایی که تمام مقادیر در محاسبه میانگین گنجانده شده است، مقدار پرت بر مقدار میانگین تأثیر می گذارد.

(54+54+54+55+56+57+57+58+58+60+81 = 644)، تقسیم بر 11 = 58. 5 سال

در این توزیع، مقدار پرت، مقدار میانگین را افزایش داده است.

علیرغم وجود مقادیر پرت در یک توزیع، میانگین همچنان می تواند معیار مناسبی برای سنجش گرایش مرکزی باشد، به خصوص اگر بقیه داده ها به طور معمول توزیع شوند. اگر مقدار پرت به عنوان یک مقدار شدید معتبر تأیید شود، نباید از مجموعه داده حذف شود. چندین تکنیک رگرسیون رایج می تواند به کاهش تأثیر نقاط پرت بر مقدار میانگین کمک کند.