فراکتال های بازگشتی

به طور غیررسمی ، فراکتال ها ارقام هندسی هستند که از خود تقارن خود را نشان می دهند: یعنی یک ساختار منظم وجود دارد که در مقیاس های مختلف تکرار می شود. از لحاظ بصری ، آنها با الگوهای تکراری پیچیده مشخص می شوند. یک نمونه اولیه از یک فراکتال مثلث سیرپینسکی است که در اینجا به تصویر کشیده شده است:

این شکل شامل یک مثلث بزرگ است که به 4 قسمت مثلثی شکسته شده است: مرکزی ، بالا ، چپ و راست. مثلث مرکزی با یک طرح آبی سفید است. سه منطقه دیگر شبیه به کل مثلث است ، اما در مقیاس 1/2. می توان مثلث Sierpinski را در مراحل ساخت. در مرحله اول ، فقط مثلث مرکزی کشیده می شود. در مرحله دوم ، مثلث های فوقانی ، چپ و راست با "نسخه" از تصویر مرحله اول جایگزین می شوند که توسط یک عامل 1/2 اندازه گیری می شود. در مراحل بعدی و بعدی ، هر زیرزمینی زیر به 4 منطقه تقسیم می شود که مناطق غیر مرکزی به عنوان نسخه های مقیاس پایین از تصویر مرحله اول ترسیم می شوند.

از لحاظ رویه ای ، ما می توانیم مثلث Sierpinski را به صورت بازگشتی تولید کنیم: برای ترسیم یک مثلث Sierpinski ، ابتدا مثلث مرکزی را ترسیم کنید. سپس مثلث های سیرپینسکی (کوچکتر) را در مناطق بالا ، چپ و راست بکشید که هر یک از آنها از یک مثلث مقیاس پذیر سیرپینسکی تشکیل شده است. بنابراین ، ما می توانیم مثلث Sierpinski را به عمق بازگشتی مشخص کنیم. تصویر بالا نسل های این روش را در اعماق 0 ، 1 ، 2 و 3 از چپ به راست متوقف می کند.

برای تبدیل این ایده به کد ، باید مشخص کنیم که چه زمانی این روش انجام می شود - یعنی ، وقتی به پرونده پایه رسیدید. دو روش طبیعی برای انجام این کار وجود دارد:

1. از کاربر بخواهید عمق ثابت بازگشت را مشخص کند.
2. نقاشی اشیاء جدید را یکبار که خیلی کوچک برای ترسیم هستند ، متوقف کنید (به عنوان مثال ، مقیاس کمتر از ، مثلاً یک پیکسل) می شود.

تصویر قبلی با استفاده از روش 1 در بالا تولید شد ، یک عمق ثابت و متوقف کردن تماس های بازگشتی پس از رسیدن به عمق.

منحنی Koch

نمونه مشهور دیگر یک فراکتال منحنی کوچ یا برف کچ است. این منحنی را می توان به شرح زیر تولید کرد. با یک مثلث دو طرفه شروع کنید. سپس هر مرحله (بازگشتی) تحول زیر را ایجاد می کند: هر بخش خط را با 4 قطعه خط جایگزین کنید ، هر 1/3 طول قطعه خط قبلی را در پیکربندی زیر:

شکل زیر تصاویر تولید شده پس از استفاده از این روش را به ترتیب از عمق 0 ، 1 ، 2 و 3 به ترتیب از چپ به راست نشان می دهد.

با استفاده از همان رویه به طور نامحدود (یا تا زمانی که خطوط خط کوچکتر از یک پیکسل کوچکتر شوند) ، به تصویر زیر می رسیم:

رویکردهای کلی برای تولید (برخی) فراکتال

دو مثال بالا - مثلث Sierpinski و منحنی Koch - دو روش کلی برای تولید فراکتال ها را تركن می كنند. اولین روش (که ما برای ترسیم مثلث Sierpinski استفاده کردیم) انجام موارد زیر است:

1. یک شکل (ساده) را بکشید (به عنوان مثال ، مثلث)
2. به صورت بازگشتی یک یا چند نسخه تبدیل شده از همان شکل (مقیاس ، ترجمه و/یا چرخش) را بکشید.

روش دوم (برای ترسیم منحنی Koch) به شرح زیر است:

1. یک شکل ساده را تعریف کنید (به عنوان مثال ، یک بخش خط)
2. شکل ساده را تقسیم کنید و یک تحول ساده اعمال کنید (به عنوان مثال ، بخش خط را به 4 بخش متصل تبدیل کنید)
3. به صورت بازگشتی از زیربخش/تحول در هر زیربخش استفاده کنید.

با استفاده از این استراتژی های کلی ، می توانید طیف گسترده ای از تصاویر پیچیده ، زیبا و غالباً شگفت آور را تولید کنید. چند نمونه قابل توجه دیگر شامل موارد زیر است:

• ، یک فراکتال سرخس مانند که توسط قوانین شگفت آور ساده ایجاد می شود.، "منحنی پر کردن فضا" با برنامه های غافلگیرکننده در هندسه و علوم کامپیوتر. ساخت و ساز ساخته شده با انتخاب زیرمجموعه مناسب از یک خط و تبدیل تصادفی زیربخش ها. این فرآیند تصادفی برای کاربردهای آن در فیزیک ، احتمال و حتی امور مالی ریاضی مورد مطالعه قرار گرفته است.

iyi: یک ریاضی کنار

در حالی که بسیاری از افراد به دلیل خصوصیات بصری خود به فراکتال جذب می شوند ، فراکتال ها به دلیل ویژگی های ریاضی غالباً شگفت آور و ضد شهود در ریاضیات مورد مطالعه قرار گرفته اند. به عنوان مثال ، منحنی Koch تولید شده در بالا را در نظر بگیرید. فرض کنید ما با یک مثلث یک طرفه با طول جانبی شروع می کنیم. بعد از یک تحول واحد (عمق بازگشت 1) ، هر طرف توسط 4 قطعه خط جایگزین می شود ، هر یک از طول 1/3. بنابراین محیط شکل جدید 4 است. به طور مشابه ، در عمق بازگشت 2 ، محیط با ضریب 4/3 افزایش می یابد ، بنابراین شکل عم ق-2 دارای یک محیط 16/3 است. ادامه نامحدود ، محیط به صورت نمایی افزایش می یابد ، بنابراین "در حد" منحنی Koch دارای یک محیط نامتناهی است.

با وجود داشتن یک محیط بی نهایت ، منطقه محصور شده توسط منحنی محدود است - منطقه آن محدود است! در حقیقت ، یک محاسبه دقیق نشان می دهد که منطقه محصور دقیقاً 8/3 برابر حجم مثلث اصلی است. بنابراین منحنی Koch نمونه ای از شکل با محیط بی نهایت را نشان می دهد اما فقط یک منطقه محدود را محصور می کند.