درک مدل قیمت گذاری گزینه Binomial

Shobhit Seth یک نویسنده مستقل و متخصص کالاها ، سهام ، سرمایه گذاری های جایگزین ، رمزنگاری و همچنین اخبار بازار و شرکت است. شوبیت علاوه بر اینکه یک معامله گر و مشاور مشتقات است ، بیش از 17 سال تجربه به عنوان مدیر محصول دارد و صاحب FuturesOptionsetC.com است. وی مدرک کارشناسی ارشد خود را در مدیریت مالی از هلند و لیسانس فناوری خود از هند دریافت کرد.

چارلز یک متخصص و مربی بازار سرمایه در سطح ملی با بیش از 30 سال تجربه در زمینه توسعه برنامه های آموزشی عمیق برای رشد متخصصان مالی است. چارلز در تعدادی از موسسات از جمله گلدمن ساکس ، مورگان استنلی ، اجتماعی ژنرال و بسیاری دیگر تدریس کرده است.

تعیین قیمت سهام

توافق در مورد قیمت گذاری دقیق برای هر دارایی قابل معامله چالش برانگیز است - به همین دلیل قیمت سهام به طور مداوم تغییر می کند. در واقعیت ، شرکت ها به سختی ارزیابی های خود را به صورت روزانه تغییر می دهند ، اما قیمت و ارزش سهام آنها تقریباً در هر ثانیه تغییر می کند. این مشکل در دستیابی به اجماع در مورد قیمت گذاری صحیح برای هر دارایی قابل معامله منجر به فرصت های داوری کوتاه مدت می شود.

اما سرمایه گذاری موفقیت آمیز زیادی به یک سؤال ساده از ارزیابی امروزی کاهش می یابد-قیمت فعلی فعلی امروز برای بازپرداخت آینده مورد انتظار چقدر است؟

غذای اصلی

• گزینه های مدل قیمت گذاری گزینه Binomial با استفاده از یک رویکرد تکراری با استفاده از چندین دوره برای ارزش گذاری گزینه های آمریکایی ، گزینه ها را مقادیر می کند.
• با استفاده از این مدل ، دو نتیجه ممکن با هر تکرار وجود دارد - یک حرکت به بالا یا یک حرکت به پایین که به دنبال یک درخت دوتایی است.
• این مدل بصری است و بیشتر در عمل از مدل مشهور سیاه اسکول ها استفاده می شود.

ارزیابی گزینه های binomial

در یک بازار رقابتی ، برای جلوگیری از فرصت های داوری ، دارایی هایی با ساختار بازپرداخت یکسان باید همان قیمت را داشته باشند. ارزیابی گزینه ها یک کار چالش برانگیز بوده است و تغییرات قیمت گذاری منجر به فرصت های داوری می شود. Black-Scholes یکی از محبوب ترین مدلهای مورد استفاده برای گزینه های قیمت گذاری است اما محدودیت هایی دارد.

مدل قیمت گذاری گزینه Binomial یکی دیگر از روشهای محبوب است که برای گزینه های قیمت گذاری استفاده می شود.

مثال ها

فرض کنید گزینه تماس با سهام خاص با قیمت فعلی بازار 100 دلار وجود دارد. گزینه AT-the-Money (ATM) دارای قیمت اعتصاب 100 دلار با زمان انقضا برای یک سال است. دو معامله گر ، پیتر و پائولا وجود دارند که هر دو موافق هستند که قیمت سهام یا به 110 دلار افزایش می یابد یا در یک سال به 90 دلار کاهش می یابد.

آنها در یک بازه زمانی معین یک سال در مورد سطح قیمت مورد انتظار موافق هستند اما در مورد احتمال حرکت بالا یا پایین مخالف نیستند. پیتر معتقد است که احتمال قیمت سهام به 110 دلار 60 ٪ است ، در حالی که پائولا معتقد است 40 ٪ است.

بر این اساس ، چه کسی مایل به پرداخت قیمت بیشتر برای گزینه تماس است؟احتمالاً پیتر ، زیرا او انتظار احتمال بالایی از حرکت بالا را دارد.

محاسبات گزینه های دوتایی

این دو دارایی که ارزیابی به آن بستگی دارد ، گزینه تماس و سهام زیرین است. در بین شرکت کنندگان توافق وجود دارد که قیمت سهام زیرین می تواند از 100 دلار فعلی به 110 دلار یا 90 دلار در یک سال منتقل شود و هیچ حرکت قیمت دیگری امکان پذیر نیست.

در دنیای عاری از داوری ، اگر مجبور هستید یک نمونه کارها را تشکیل دهید که شامل این دو دارایی ، گزینه تماس و سهام زیرین باشد ، به گونه ای که صرف نظر از اینکه قیمت زیرین در کجا می رود-110 دلار یا 90 دلار-بازده خالص نمونه کارها همیشه یکسان استبشرفرض کنید برای ایجاد این نمونه کارها ، سهام "D" گزینه های زیربنایی و کوتاه یک تماس را خریداری کرده اید.

اگر قیمت به 110 دلار برسد ، سهام شما 110 دلار دلار خواهد بود و در بازپرداخت تماس کوتاه 10 دلار از دست خواهید داد. ارزش خالص نمونه کارها شما (110d - 10) خواهد بود.

اگر قیمت به 90 دلار کاهش یابد ، سهام شما به ارزش 90 دلار دلار خواهد بود و گزینه بی ارزش منقضی می شود. ارزش خالص نمونه کارها شما (90d) خواهد بود.

اگر می خواهید ارزش نمونه کارها شما بدون توجه به اینکه قیمت سهام زیربنایی در کجا می رود ، یکسان باقی بماند ، پس ارزش نمونه کارها شما باید در هر دو مورد یکسان باشد:

بنابراین اگر نیمی از سهم را خریداری کنید ، فرض کنید خریدهای کسری امکان پذیر است ، شما می توانید یک نمونه کارها را ایجاد کنید تا ارزش آن در هر دو حالت ممکن در چارچوب زمانی معین یک سال باقی بماند.

این مقدار نمونه کارها ، که توسط (90d) یا (110d - 10) = 45 نشان داده شده است ، یک سال از خط پایین است. برای محاسبه ارزش فعلی آن ، می توان با نرخ بازده بدون ریسک تخفیف داد (با فرض 5 ٪).

از آنجا که در حال حاضر ، این نمونه کارها از ½ سهم سهام زیربنایی (با قیمت بازار 100 دلار) و یک تماس کوتاه تشکیل شده است ، باید برابر با ارزش فعلی باشد.

از آنجا که این فرض بر این است که مقدار نمونه کارها بدون توجه به اینکه قیمت زیرین به چه روشی پیش می رود ، یکسان است ، احتمال حرکت یا حرکت بالایی هیچ نقشی ندارد. این نمونه کارها بدون در نظر گرفتن حرکت زیرین قیمت بدون ریسک باقی مانده است.

در هر دو مورد (فرض بر این است که به 110 دلار حرکت می کند و به پایین 90 دلار حرکت می کند) ، نمونه کارها شما در معرض خطر خنثی است و نرخ بازده بدون ریسک را به دست می آورد.

از این رو ، هر دو معامله گران ، پیتر و پائولا ، علی رغم برداشت متفاوت از احتمالات حرکات بالا (60 ٪ و 40 ٪) ، مایل به پرداخت همان 7. 14 دلار برای این گزینه تماس هستند. احتمالات درک شده به صورت جداگانه در ارزیابی گزینه مهم نیستند.

در عوض با فرض اینکه احتمالات فردی مهم است ، فرصت های داوری ممکن است خودشان را ارائه دهند. در دنیای واقعی ، چنین فرصت های داوری با اختلافات جزئی قیمت وجود دارد و در کوتاه مدت از بین می رود.

اما نوسانات بسیار پرتحرک در همه این محاسبات کجاست ، یک عامل مهم و حساس که بر قیمت گذاری گزینه ها تأثیر می گذارد؟

نوسانات در حال حاضر با ماهیت تعریف مسئله درج شده است. با فرض دو (و تنها دو - از این رو نام "Binomial") سطح قیمت (110 دلار و 90 دلار) ، نوسانات در این فرض ضمنی است و به طور خودکار شامل می شود (10 ٪ در این مثال).

اسلایدهای سیاه

اما آیا این رویکرد با قیمت گذاری متداول سیاه اسکول ها صحیح و منسجم است؟گزینه های ماشین حساب گزینه ها (حسن نیت ارائه دهنده OIC) از نزدیک با مقدار محاسبه شده مطابقت دارد:

متأسفانه ، دنیای واقعی به سادگی "فقط دو کشور" نیست. سهام می تواند قبل از زمان انقضا به چندین سطح قیمت برسد.

آیا می توان تمام این سطح های مختلف را در یک مدل قیمت گذاری دوتایی قرار داد که فقط به دو سطح محدود می شود؟بله ، بسیار ممکن است ، اما درک آن ریاضیات ساده است.

ریاضیات

برای تعمیم این مشکل و راه حل:

"X" قیمت فعلی بازار یک سهام و "x*u" و "x*d" قیمت های آینده برای حرکات بالا و پایین "t" سالها بعد است. فاکتور "U" بیشتر از یک خواهد بود زیرا نشانگر حرکت بالایی است و "D" بین صفر و یک قرار خواهد گرفت. برای مثال فوق ، u = 1. 1 و d = 0. 9.

بازپرداخت گزینه های تماس "P_up"و" P_dn"برای حرکات بالا و پایین در زمان انقضا.

اگر سبد سهام "S" خریداری شده امروز و گزینه کوتاه تماس را ایجاد کنید ، پس از آن زمان "t":

برای ارزیابی مشابه در هر دو مورد حرکت قیمت:

ارزش آینده نمونه کارها در پایان سالهای "t" خواهد بود:

ارزش امروز را می توان با تخفیف آن با نرخ بازده بدون ریسک بدست آورد:

این باید با نگه داشتن نمونه کارها سهام "S" با قیمت X مطابقت داشته باشد ، و ارزش تماس کوتاه "C" (نگه داشتن امروزی (S* x - C) باید با این محاسبه برابر باشد.) حل "C" در نهایت آن را می دهدمانند:

توجه: اگر حق بیمه تماس کوتاه باشد ، باید علاوه بر نمونه کارها باشد ، نه یک تفریق.

راه دیگر برای نوشتن معادله با تنظیم مجدد آن است:

سپس معادله می شود:

تنظیم مجدد معادله از نظر "Q" چشم انداز جدیدی را ارائه داده است.

اکنون می توانید "Q" را به عنوان احتمال حرکت بالایی از زیربنایی تعبیر کنید (زیرا "Q" با P همراه است_upو "1-Q" با P همراه است_dn). به طور کلی ، معادله نشان دهنده قیمت گزینه امروزی ، ارزش تخفیف بازپرداخت آن در زمان انقضا است.

این "Q" متفاوت است

چگونه این احتمال "Q" با احتمال حرکت بالا یا حرکت زیرین متفاوت است؟

با جایگزینی ارزش "q" و تنظیم مجدد ، قیمت سهام در زمان "t" به این نتیجه می رسد:

در این دنیای فرضی دو ایالت ، قیمت سهام به سادگی با نرخ بازده بدون ریسک ، دقیقاً مانند یک دارایی بدون ریسک بالا می رود و از این رو مستقل از هرگونه ریسکی است. سرمایه گذاران تحت این مدل نسبت به ریسک بی تفاوت هستند ، بنابراین این مدل بی طرف ریسک را تشکیل می دهد.

احتمال "q" و "(1-q)" به عنوان احتمالات بی طرف ریسک شناخته می شوند و روش ارزیابی به عنوان مدل ارزیابی بی طرف خطر شناخته می شود.

سناریوی مثال یک نیاز مهم دارد - ساختار بازپرداخت آینده با دقت لازم است (سطح 110 دلار و 90 دلار). در زندگی واقعی ، چنین وضوح در مورد سطح قیمت مبتنی بر مرحله امکان پذیر نیست. در عوض قیمت به طور تصادفی حرکت می کند و ممکن است در چندین سطح تسویه شود.

برای گسترش مثال ، فرض کنید که سطح قیمت دو مرحله ای امکان پذیر است. ما دومین مرحله بازپرداخت مرحله دوم را می شناسیم و امروز باید گزینه را ارزیابی کنیم (در مرحله اولیه):

با کار به عقب ، ارزیابی مرحله اول میانی (در T = 1) می تواند با استفاده از بازپرداخت نهایی در مرحله دوم (T = 2) انجام شود ، سپس با استفاده از این ارزیابی مرحله اول محاسبه شده (T = 1) ، ارزیابی امروزی (t =0) با این محاسبات قابل دستیابی است.

برای به دست آوردن قیمت گزینه در شماره دو ، از بازپرداخت های چهار و پنج استفاده می شود. برای به دست آوردن قیمت گذاری برای شماره سه ، از بازپرداختهای پنج و شش استفاده می شود. سرانجام ، بازپرداخت های محاسبه شده در دو و سه مورد برای دریافت قیمت گذاری در شماره یک استفاده می شود.

لطفاً توجه داشته باشید که این مثال همان عامل را برای حرکت بالا (و پایین) در هر دو مرحله فرض می کند - U و D به روشی مرکب اعمال می شود.

یک مثال کار

فرض کنید گزینه ای با قیمت اعتصاب 110 دلار در حال حاضر با 100 دلار معامله می شود و در یک سال منقضی می شود. نرخ سالانه بدون ریسک 5 ٪ است. پیش بینی می شود قیمت 20 ٪ افزایش یابد و هر شش ماه 15 ٪ کاهش یابد.