نوسانات II: میرایی سبک و بحرانی

با I 2 = - 1 طبق معمول ، دو راه حل نمایی ممکن را ارائه می دهد:

x 1 (t) = e - b t 2 m e - i 4 m k - b 2 2 m t ، x 2 (t) = e - b t 2 m e + i 4 m k - b 2 2 m t.

و یک راه حل کلی

_{x (t) = a 1 e - b t 2 m e - i 4 m k - b 2 2 m t + a 2 e - b t 2 m e + i 4 m k - b 2 2 m t.}

البته موقعیت Mass X (t) باید یک شماره واقعی باشد! ما باید یک 1 و 2 را انتخاب کنیم تا مطمئن شویم که هست. انتخاب

a 1 = 1 2 a e - i δ ، a 2 = 1 2 a e + i δ

جایی که A و δ واقعی هستند و به یاد می آورند

cos θ = 1 2 (e + i θ + e - i θ) ،

x (t) = a e - b t 2 m cos (4 m k - b 2 2 m t + δ).

این عمومی ترین راه حل واقعی نوسان ساز کم نور است - دو ثابت دلخواه دامنه A و فاز δ هستند. بنابراین برای B کوچک ، ما یک نوسانات کاسین را ضرب می کنیم که توسط یک عملکرد به تدریج کاهش می یابد ، E - B T / 2 M.

این اغلب از نظر زمان پوسیدگی τ تعریف شده توسط

دامنه نوسان A بنابراین به عنوان E - T / 2 τ و انرژی نوسان ساز (متناسب با 2 پوسیدگی به عنوان E - T / τ ، در زمان پوسیده می شود. این بدان معنی است که در زمان τ انرژی توسط یک عامل 1 کاهش می یابد/ E ، با E = 2. 71828.

راه حل گاهی نوشته شده است

x (t) = a e - b t 2 m cos (ω ′ t + δ)

ω ′ 2 = 4 m k - b 2 4 m 2 = k m - b 2 4 m 2 = ω 0 2 - b 2 4 m 2.

توجه کنید که برای میرایی کوچک ، فرکانس نوسان از مقدار غیرمترقبه تغییر نمی کند: این تغییر متناسب با مربع میرایی است.

عامل Q: زنگ زدن به زنگ

ضریب Q اندازه گیری "کیفیت" نوسان ساز (مانند زنگ) است: چه مدت به محض ضربه زدن به آن زنگ می زند؟در اصل ، این یک اندازه گیری است که چه تعداد نوسانات در طول زمان انجام می شود که انرژی با ضریب 1 / e پوسیده می شود.

q توسط:

بنابراین ، به طور دقیق ، اندازه گیری می کند که چه تعداد از رادیان نوسان ساز به مرور زمان می رود. برای یک زنگ معمولی ، τ چند ثانیه خواهد بود ، اگر یادداشت میانه C ، 256 هرتز باشد ، این ω 0 = 2 π × 256 است ، بنابراین q چند هزار سفارش خواهد بود.

ورزش: Q را برای نوسان ساز زیر تخمین بزنید (و فراموش نکنید که انرژی متناسب با مربع دامنه است):

منحنی های زرد موجود در نمودار بالا ، جفت توابع + E - B T / 2 M ، - E - B T / 2 M است که اغلب به عنوان پاکت منحنی نوسان گفته می شود ، زیرا آنها آن را از بالا و پایین "پاکت می دهند".

میرایی بحرانی: یک مورد خاص

فقط یک مورد وجود دارد که ما واقعاً در مورد آن بحث نکرده ایم ، و آن را "میرایی بحرانی" می نامیم: چه اتفاقی می افتد که B 2 - 4 M K دقیقاً صفر باشد؟در نگاه اول ، پاسخ دادن به راحتی به نظر می رسد: فقط یک راه حل وجود دارد

x (t) = a e - b t 2 m.

اما این به اندازه کافی خوب نیست - به ما می گوید که اگر از T = 0 با جرم در x 0 شروع کنیم ، باید سرعت D x / d t برابر با - x 0 b / 2 m باشد. اما ، در واقع ، ما می توانیم توده را در x 0 قرار دهیم و آن را به هر سرعت اولیه مورد نظر خود بکشید! پس چه اتفاقی برای راه حل دیگر افتاد؟

ما می توانیم با بررسی دو راه حل در حال سقوط به صورت نمایی برای پرونده بیش از حد ، سرنخ را بدست آوریم زیرا به میرایی بحرانی نزدیک می شویم:

x (t) = a 1 e - b + b 1 - 4 m k b 2 m t + a 2 e - b - b 1 - 4 m k b 2 2 m t

با نزدیک شدن به میرایی بحرانی ، مقدار کمی

ε = b 2 - 4 m k 2 m

به صفر نزدیک می شود. راه حل کلی معادله فرم دارد

x (t) = e - b t 2 m (a 1 e - ε t + a 2 e + ε t).

این یک راه حل معتبر برای هر واقعی A 1 ، A 2 است. برای یافتن راه حلی که ما از دست داده ایم ، ترفند این است که یک 2 = - A 1 را بگیرید. در حد ε کوچک ، می توانیم E ε t = 1 + ε t را بگیریم و راه حل را کشف می کنیم

x (t) = - e - b t 2 m 2 ε t.

طبق معمول ، ما همیشه می توانیم راه حل یک معادله دیفرانسیل خطی را با یک ثابت ضرب کنیم و هنوز هم یک راه حل داشته باشیم ، بنابراین ما راه حل جدید خود را به عنوان می نویسیم

x (t) = a 2 t e - b t 2 m.

راه حل کلی برای اسیلاتور مرطوب شده و سپس فرم را دارد:

x (t) = (a 1 + a 2 t) e - b t 2 m.

ورزش: بررسی کنید که این یک راه حل برای مورد میرایی بحرانی است و تأیید کنید که راه حل های فرم t بار نمایی برای موارد دیگر (غیر مهم) کار نمی کند.

آیا شوک های شما باید به شدت مرطوب شود؟

کمک کننده شوک در اصل یک نوسان ساز بهاری مرطوب است ، میرایی از یک پیستون است که در یک استوانه پر از روغن حرکت می کند. بدیهی است ، اگر روغن بسیار نازک باشد ، نمیرایی زیادی نخواهد بود ، یک گودال باعث می شود ماشین شما چند بار از بالا و پایین گزاف گویی کند و شما را تکان دهد. از طرف دیگر ، اگر روغن واقعاً ضخیم باشد ، یا پیستون خیلی محکم باشد ، کمک فنر خیلی سفت خواهد شد - این شوک را جذب نمی کند ، و شما خواهید کرد! بنابراین ما باید میرایی را تنظیم کنیم تا ماشین به آرامی به یک برآمدگی در جاده پاسخ دهد ، اما پس از دست و پا زدن به گزاف گویی ادامه نمی یابد.

بدیهی است ، نمودار "نوسان ساز مرطوب" در بخش Q-factor در بالا مربوط به میرایی خیلی کمی برای راحتی از نظر کمک فنر است ، گفته می شود که چنین نوسان ساز تحت فشار قرار می گیرد. مورد مخالف ، بیش از حد ، به نظر می رسد:

خط تقسیم بین بیش از حد و کمبود فشار خون میرایی بحرانی نامیده می شود. ثابت نگه داشتن همه چیز به جز نیروی میرایی از نمودار بالا ، میرایی بحرانی به نظر می رسد:

این مربوط به ω ′ = 0 در معادله x (t) در بالا است ، بنابراین یک منحنی کاملاً نمایی است. توجه کنید که نوسان ساز با سرعت بیشتری نسبت به مورد بیش از حد (روغن سفت) به صفر حرکت می کند.

شما ممکن است فکر کنید که میرایی بحرانی بهترین راه حل برای کمک فنر است ، اما در واقع کمی میرایی کمتر ممکن است سوار بهتری شود: مقدار کمی تندرست وجود خواهد داشت ، اما یک پاسخ سریعتر مانند این:

می توانید با فشار دادن یک گوشه ماشین و سپس رها کردن ، متوجه شوید که فنرهای شما چگونه رفتار می کنند. اگر ماشین به وضوح به اطراف خود بپردازد ، میرایی خیلی کم است و شما به شوک های جدیدی احتیاج دارید.< SPAN> خط تقسیم بین بیش از حد و زیر فشار ، میرایی بحرانی نامیده می شود. ثابت نگه داشتن همه چیز به جز نیروی میرایی از نمودار بالا ، میرایی بحرانی به نظر می رسد: