در مورد یک مشکل نوسانگر ساده که ارتعاشات ناشی از یخ یک سازه فراساحلی را توصیف می کند

در این مقاله، یک مدل نوسانگر ساده جدید در نظر گرفته شده است که ارتعاشات ناشی از یخ سازه های فراساحلی ایستاده، محصور در آب، و سازه های زیربنایی را توصیف می کند. مدل های موجود با در نظر گرفتن تغییر شکل های یک شناور یخ و یک برهمکنش تماس متحرک بین یک میله یخی که از شناور بریده شده است و نوسان گر که ساختار دریایی را نشان می دهد، گسترش می یابد. توجه ویژه ای به نوعی از ارتعاشات ناشی از یخ سازه ها، که به عنوان قفل فرکانسی شناخته می شود، و با داشتن فرکانس غالب نیروهای یخ در نزدیکی فرکانس طبیعی سازه مشخص می شود. یک رویکرد مجانبی جدید پیشنهاد شده است که اجازه می دهد تا تغییر شکل های یخ را شامل شود و یک معادله غیر خطی برای ارتعاشات نوسانگر ساده به دست آورد. شروع ناپایداری، ناشی از اثرات رزونانس برای نوسانگر و ایجاد شده توسط تعامل ساختار میله یخ، به تفصیل مورد مطالعه قرار گرفته است.

روی یک دست نوشته کار می کنید؟

از رایج ترین اشتباهات اجتناب کنید و دستنوشته خود را برای سردبیران مجلات آماده کنید.

مقدمه

ساختارهای خارج از کشور به صورت عمودی و در پایین ، گاهی اوقات به دلیل ریزش ورق های یخ در برابر آنها ، لرزش های پایدار را تجربه می کنند. معمولاً ، سه رژیم تعامل متمایز می شوند: خرد کردن متناوب ، قفل فرکانس و خرد شدن شکننده مداوم. در این مقاله ، ما یک مدل ریاضی را برای نوع خاصی از ارتعاشات ناشی از یخ (IIV) از سازه ها ، معروف به قفل فرکانس معرفی می کنیم و با داشتن فرکانس غالب نیروهای یخ در نزدیکی یک فرکانس طبیعی ساختار مشخص می شود. اولین مدل IIV در [1] ارائه شد ، جایی که خرابی یخ به عنوان توالی از وقایع گسسته در نظر گرفته شد. این مدل در [2] و اخیراً در [3] گسترش یافته است ، جایی که تصادفی از خرابی یخ در نظر گرفته می شود. از نظر ریاضی ، این مدلها نوسان سازها را تحت یک نیروی وابسته به زمان خارجی توصیف می کنند ، که اقدامی از وقایع گسسته نارسایی یخ را شبیه سازی می کند. این مدل ها اثر رزونانس را به عنوان منبع احتمالی IIV های بزرگ نشان می دهند. سایر مدلهای IIV خرابی یخ را به عنوان یک فرآیند مداوم درمان می کنند (به عنوان مثال [4] را ببینید) و می توان برای سرعت یخ بزرگ استفاده کرد. در این حالت ، نیروی یخ خرد کننده دارای بزرگی نسبتاً کم است و نوسانات ساختار دارای بزرگی کم و فرکانس های بالایی است. همانطور که در [3] ذکر شد ، این شرایط برای کاربردهای ایمنی از اهمیت کمتری برخوردار است زیرا ارتعاشات خطرناک با سرعت های کوچکتر شروع می شود. همچنین برخی از مدل های دیگر در [5،6،7،8،9،10] پیشنهاد شده است. بسته به مدل ، تعامل به عنوان تابعی از مجموعه های مختلف پارامترهای مربوط به یخ و ساختار توصیف می شود. در این مقاله ، ما مدلی را پیشنهاد می کنیم که نمونه های قبلی را گسترش دهد ، به ویژه ، موارد پیشنهادی در [1 ، 2] و [3 ، 10]. نکته جدید با توجه به تحقیقات قبلی این است که ما تغییر شکل یخ را با جزئیات بیشتری مطالعه می کنیم. ما تغییر شکل میله یخی را با در نظر گرفتن رفتار یخ زده احتمالی توضیح می دهیم (در [10] تغییر شکل غیرخطی یخ کوچک یخ در نظر گرفته شد) و یک تماس متحرک بین ساختار و یخ. برای تعامل ساده اسیلاتو ر-یخ ، ما اثرات اکستروژن را نیز در نظر می گیریم. در نتیجه ، این منجر به یک مشکل دشوار می شود ، که شامل معادلات دیفرانسیل جزئی (PDE) برای میله یخ و معادلات دیفرانسیل معمولی (ODE) برای نوسان ساز است. مشکل اصلی این است که این PDE و ODE از طریق شرایط مرزی برای تغییر شکل میله یخ در یک خط تماس بین میله یخ و نوسان ساز همراه می شوند.

این خط تماس ناشناخته است. مشکل با استفاده از یک رویکرد مجانبی و با استفاده از یک مدل مکانیکی برای تغییر شکل میله یخ در طول تعامل با نوسانگر حل می شود. این رویکرد مجانبی به ما امکان می دهد یک ODE غیرخطی برای نوسان گر پیدا کنیم، جایی که تغییر شکل های یخ در آن گنجانده شده است. معادله حاصل برای اصطلاحات IIV شامل پارامترهای زیادی است، اما یک پارامتر مهم سرعت یخ v است. دینامیک چنین مدل های نوسان گر را می توان با روش های شناخته شده مورد مطالعه قرار داد (برای مثال [11، 12] را ببینید). نتایج زیر با بررسی مجانبی و شبیه سازی عددی به دست آمده است. ما نشان می دهیم که الگوهای تغییر شکل میله های یخ ایجاد می شوند که توسط تعامل بین نوسانگر و میله ایجاد می شوند. این تغییر شکل میله یخ به طور تصاعدی در طول میله یخ کاهش می یابد و علاوه بر این، نوسانگر مجبور به نوسان با فرکانس نزدیک به فرکانس طبیعی نوسانگر (Omega) می شود. ما نموداری بدست می آوریم که توضیح می دهد چگونه دامنه نوسانگر A به سرعت یخ v بستگی دارد. برای برخی از گزینه های پارامتر، این نمودار یک پیک قابل توجه برای دامنه A را نشان می دهد. برای سرعت میله های کوچک v، دامنه نوسان کوچک A و همچنین برای v بزرگ داریم. ارتفاع و عرض قله به پارامترهای سیستم بستگی دارد. این نتایج اساساً به سرعت یخ v بستگی دارد و با داده های تجربی مطابقت دارد (نگاه کنید به [2]). ما مکانیزم جدیدی برای رفتار نوسانگر پیدا کردیم که می توان آن را با تشدید بین بار خارجی، نوسان گر و بخشی از میله یخ (لایه مرزی) توصیف کرد که باعث ایجاد برهمکنش نوسانگر-میله یخ در طول حرکت میله با سرعت v می شود. این مقاله به شرح زیر سازماندهی شده است. در بخش2 از این مقاله، مسئله فرموله شده است، و در فرقه ها. در شکل های 3 و 4، مشکل تقریباً با استفاده از روش های مجانبی حل می شود. مسائل ثبات و رزونانس ها در بخش مورد بحث قرار می گیرند. 5 و در نهایت در بخش. 6، برخی از نتایج گرفته شده است.

بیان مسأله

where (q=q(t)) is the oscillator displacement, (Omega ^2=frac) , where (Omega ) is the oscillator frequency, and M , and G are the mass and rigidity of the oscillator respectively, and (alpha>به دنبال [1،2،3 ، 5] ، ما یک ساختار دریایی را به عنوان یک نوسان ساز یک درجه از آزادی و یخ یخ به عنوان سیستم میله های یخ می دانیم ، که خواص آن شامل خرابی محلی است (برای جزئیات بیشتر ، [5]). به طور خاص ، ما یک نوسان ساز ساده را در نظر می گیریم که با یکی از این میله ها در تعامل است. با توجه به اینکه فقط یک میله از نظریه ای که در [13] پیشنهاد شده است ، دنبال می شود. همانطور که در [5] ذکر شد ، به منظور شبیه سازی رفتار ساختار در حین رژیم قفل فرکانس ، این شرط تعیین شده است که یخ همیشه باید با ساختار در تماس باشد ، یعنی هیچ شکافی بین لبه یخ وجود نداردو ساختاربر اساس این نیاز ، معادله ای که دینامیک نوسان ساز ساده را توصیف می کند توسط:

0 ) ضریب میرایی مثبت است. برای (1) شرایط اولیه زیر استفاده می شود:

اصطلاح ( mu ) در (1) نیرویی را تعریف می کند که به دلیل میله یخ بر روی نوسان ساز عمل می کند و فرم دارد) .

جایی که (u = u (x ، t) ) جابجایی میله یخ طولی است ، e یک مدول یخی یخی است ، f منطقه مقطع میله یخ است و ( دلتا _0 ) ویسکوزیته فله یخ استضریباصطلاح (u_x ) در سمت راست (3) سهم تغییر شکل های خطی را تعریف می کند ، و اصطلاح (u_ ) ویسکوزیته یخ است. باید مشاهده کرد که شرایط مرزی در (x = q (t) ) نیز نقش مهمی در سایر برنامه ها ایفا می کند (به [14،15،16،17،18] مراجعه کنید) که به عنوان مثال ، نوسانات طولی درکابل های در حال حرکت محوری در نظر گرفته می شوند. معادله زیر پویایی میله یخ را توصیف می کند ، که در دامنه نیمه نامحدود تعریف شده است: (i_q = <2(1- u ^2)>جایی که u (x ، t) جابجایی ناشناخته میله یخ است ، m جرم میله یخ در هر واحد طول ، q نیرویی برای طول واحد است که به دلیل تماس با سطح جانبی آن با سایر میله های یخ در فضای اطراف در میله رخ می دهدمیله موجود در یخ یخ که در (4) در نظر گرفته شده است. یخ یخ در امتداد X-axis در حال حرکت است. پارامترها ( بتا ) ، ( دلتا _0 ) و (k_0 ) مثبت هستند. پارامتر ( beta ) ویسکوزیته برشی یخ است و پارامتر (K_0 ) فشرده سازی میله ای را که در اثر فشارهای فشرده سازی میله یخ در جهت عرضی توسط سایر میله های یخ ایجاد می شود ، مشخص می کند و بنابراین "" را تعریف می کندظرفیت گسترش بار بنیاد "طبق [13]. پارامتر (k_0 = frac

where (v>) ، جایی که H ضخامت یخ یخ است ، پارامتر ( n ) نسبت پواسون است ، پارامتر ( gamma ) ضریب تعیین میزان کاهش در جابجایی بر روی طول میله یخ است وبرای جزئیات بیشتر می توان به صورت تجربی یافت (همچنین به [13] مراجعه کنید). به عبارت دیگر ، رفتار یخ یخ می تواند توسط یک چشمه عمومی و یک داشپوت تعمیم یافته همانطور که در [19] پیشنهاد شده است ، مدل سازی شود. عملکرد (t) تغییر میله یخ را توصیف می کند ، و ما تصور می کنیم S (t) توسط تعریف شده است

0 ) سرعت نسبی یخ است ، و

در اینجا ، (t_n ) لحظات زمانی است که میله یخ در (x = q (t) ) خرد می شود. (d_n ) طول بلوک های یخی است که از هم جدا می شوند ، و H (Z) مخفف عملکرد مرحله Heaviside است. لحظات زمانی (t_n ) توسط شرط تعریف می شوند

یعنی فشار P در یخ به یک سطح بحرانی (P_C ) می رسد. فشار P را می توان با رابطه محاسبه کرد

جایی که (t_n ) لحظه استراحت قبلی است ، و (p_0 = (u_mc_0^2) vert _ ) فشار اولیه در میله است ، جایی که (c_0 = sqrt ) صدای یخ استسرعتبنابراین ، استراحت توسط رابطه تعیین می شود

$$x08egin u(q(t), t)=q(t), quad u(x, t) ightarrow 0 , for x ightarrow +infty . onumber \ end$$

ما شرایط مرزی زیر را معرفی می کنیم:

$$x08egin u(x, 0)=phi _0(x), ,, u_t(x, 0)=phi _1(x), ,, x in (q(0), infty ), onumber \ end$$

مورد اول رابطه تماس بین میله یخ و نوسان ساز است و مورد دوم وضعیت تابش در بی نهایت است. شرایط اولیه توسط

Notice that the differential equations, boundary and initial conditions can be transformed to a dimensionless form when we rescale the variables. For the rescaling, the following relations are used: ( x08ar=x/h,x08ar=q/h,x08ar=s/h,x08ar=u/h,>که در آن ( phi _j (x) ) توابع سریع در x برای (x راست infty ) کاهش می یابد. به عنوان مثال ، می توان تصور کرد که<Omega>=hOmega /c_0,>= d_k/h ، c_0^2 = ef/m ، bar = v/c_0 ، bar = tc_0/h ، bar = h alpha/c_0 ، bar = hc_0 beta/ef ، bar_0 = k_0h^2/ef ، bar

$$x08egin&u(q(t), t)=q(t), ext = دلتا _0 c_0/eh ، epsilon = mh/m ). بدیهی است که پارامتر ( epsilon ) کوچک است. برای ساده کردن نمادها ، ما اکنون میله ها را حذف می کنیم و معادلات نهایی را بدست می آوریم: x ightarrow +infty , tge 0, end$$

$$x08egin&u_ - u_ - x08eta u_t - k_0 u +delta _0 u_ = -x08eta s_t - k_0 s, onumber \&qquad t> Quad U (x ، t) Rightarrow 0 ، nonumber \ & qquad متن$$

0 ، q (t)

و شرایط اولیه است

در دو بخش بعدی ، ما راه حل مشکلات ارزش مرزی اولیه را تقریب خواهیم داد (14) - (18).

راه حل های بدون علامت معادله نوسان ساز

$$x08egin _t= & <>و جایی که دامنه A و فاز ( phi ) توابع به آرامی در زمان ناشناخته هستند. از (19) ، به این نتیجه می رسد<> -Omega ^2 q_0 + 2epsilon Omega (A_ cos (Omega t +phi ( au ))\&-, A phi _ sin (Omega t +phi ( au )) +O(epsilon ^2). end$$

: phi ( tau)) ، \ _ = &

$$x08egin S_1&= 2 Omega (-A_ cos (Omega t +phi ( au )) onumber \&quad + A phi _ sin (Omega t +phi ( au )))+, R(A, phi , t), end$$

$$x08egin R(A, phi , t)&=mu (Asin (Omega t phi ( au )), AOmega cos (Omega tphi ), t) onumber \&quad -,x08ar A Omega cos (Omega t+phi ) . end$$

با جایگزینی این روابط در (1) ، و با جمع کردن شرایط ترتیب ( epsilon ) ، معادله زیر را برای (q_1 ) بدست می آورد:

برای زمان های بزرگ (t = o ( epsilon ^) ) ، eq.(20) یک راه حل محدود در T در صورت و فقط اگر باشد

سرانجام ، از (23) و (24) نتیجه می گیرد که سیستم زیر معادلات برای دامنه A و فاز ( phi ) به دست می آید:

ما این سیستم را در بخش بعدی بررسی می کنیم. برای ساده سازی فرمول ها ، ما از نماد استفاده خواهیم کرد

برای مقادیر متوسط

بدون علامت برای جابجایی میله یخ

فرض

هدف از این زیرمجموعه بیان جابجایی U (x ، t) در Q و به دست آوردن معادله ای است که فقط شامل Q است. ما از فرض زیر استفاده می کنیم:

یعنی فرکانس طبیعی نوسان ساز با توجه به فرکانس برش میله یخ کوچک است. ما همچنین فرض می کنیم که تمام ضرایب مرتبط با اصطکاک و اثرات میرایی کوچک هستند ، یعنی ،

معرفی دو پارامتر کوچک دیگر مفید است

برای یافتن U ، ابتدا یک عملکرد کمکی V (t) را به عنوان راه حل ODE مرتبه دوم زیر تعریف می کنیم:

ما به صورت (u = v (t) + bar ) به دنبال شما هستیم ، جایی که ( bar ) معادله زیر را برآورده می کند ،

where (V'=mathrmV/mathrmt) . In the next subsections, we determine the auxiliary function V and construct an asymptotic approximation for (>) .

و مرز و شرایط اولیه:

این طرح وابستگی معمولی S (t) را به موقع نشان می دهد. مقادیر پارامتر (d = d_n = 1 ) ، ( delta t = t_-t_n = 5 ) و (v = 0. 2 ) است.

محاسبه V (t)

برای ساده کردن محاسبات ، بگذارید فرض کنیم که (d_n = d ). سپس ، S (t) یک تابع دوره ای با دوره (t = d/v ) است. ما از یک گسترش فوریه برای V استفاده می کنیم. طرح S (t) را در نظر بگیرید (شکل 1 را ببینید). در این طرح ، منحنی اره ای ارائه شده است. محاسبه ضرایب فوریه S ، ما داریم

جایی که T دوره است و

که در آن ( omega = 2 pi /t = 2 pi v /d ) فرکانس تقسیم یخ یخ است. از این رو،

جایی که عملکرد ( tilde (t) ) محلول همگن () است و با سرعت نمایی در T کاهش می یابد. ضرایب فوریه در (38) توسط تعریف شده است<hat>ضریب (<hat>_0 = d/2 ) میانگین تغییر نوسان ساز است. توجه داشته باشید که اصطلاح ( tilde (t) ) به صورت نمایی در t کاهش می یابد ، بنابراین ، می توانیم آن اصطلاح را برای زمان های بزرگ حذف کنیم (t gg beta ^). علاوه بر این ، اگر ( eta = beta k_0^) کوچک است ، سپس (<hat>_n ) برای (n تقریبی k_0 / omega ) بزرگ است. این بدان معنی است که طنین انداز ناشی از شکستن دوره ای یخ از میله یخ است. این نتایج برای (

Asymptotics for (>)

Let us introduce a new variable: (y=x-q(t)) . Then, for (>(x,t)=>_n ) در زیرمجموعه های بعدی مورد استفاده قرار می گیرد و خواهیم دید که این رزونانس ها می توانند برای بی ثباتی در دینامیک نوسان ساز ایجاد کنند.

(y ، t) )<<mathcal >>جایی که (

) اپراتور دیفرانسیل تعریف شده توسط

و G عملکردی از U و Q است که توسط

شرایط مرزی تبدیل می شود

Due to our assumptions (28) and (29) on the parameters (Omega , x08eta ) and (delta _0) , the term g is small. Thus, we can construct an approximation of the solution to the initial boundary value problems (IBVP) (40) (45) as follows. We set (>=>^ +>^ +>^) , where (>و داده های اولیه فرم را می گیرند

Let us find (>_k ) راه حل های IBVP های زیر است:

^0 ). ما این عملکرد را به صورت جمع می نویسیم

مشکل (57) را می توان با استفاده از روش تجزیه فوریه حل کرد و بازده داد

(y ، t) )<hat>جایی که (<hat<omega>>_n ) در (39) تعریف شده است ، و فرکانس های پیچیده (

In order to satisfy the boundary condition at (y ightarrow +infty ) , we choose the complex roots such that (> <hat<omega>>_n ) توسط تعریف شده است

_n ) ، ما از فرض (28) استفاده می کنیم. با توجه به این فرض ، نوسانات رایگان میله یخ تعریف شده توسط رابطه (56) دارای فرکانس های بزرگتر از (K_0^) است ، در حالی که Q (t) با فرکانس تقریباً برابر با ( omega ) نوسان می کند. بنابراین ، برای به دست آوردن تقریبی برای (U^) ، می توانیم مشتقات را با توجه به T در سمت راست Eq از بین ببریم.(56). این روش بدون علامت می دهد

جایی که ( lambda ) توسط (30) تعریف شده است ، و u (y) را راضی می کند<hat<omega>>در (65) ، طبق معمول ، علائم ریشه های پیچیده به گونه ای انتخاب می شوند که قسمت های واقعی (

) منفی هستند. سپس ، برای ( omega ^2 ll k_0 ) (وقتی سرعت میله یخ V کوچک است) ، ما داریم

برای یافتن (u_n (y) ) در فاصله (y in (0 ، infty) ) ، ما روش استاندارد زیر را انجام می دهیم. بگذارید شرایط (60) را جایگزین کنیم

ما مشکل BVP مربوطه را برای هر L حل می کنیم و سپس اجازه می دهیم (L RightArrow + Infty ). سپس ، یکی بدست می آید

اصطلاح دوم به عنوان (l redarrow + infty ) برای همه (y in [0 ، r] ) ، جایی که r ثابت است ، ناپدید می شود. در نتیجه ، ما راه حل های زیر از IBVP های فوق را بدست می آوریم:

این بازنمودها برای تمام فواصل جمع و جور معتبر است ، (y in [0 ، r] ). توجه داشته باشید که نوسان ساز و میله یخ در مرز (y = 0 ) تعامل دارند. بنابراین ، این فرمول ها به ما امکان توصیف این تعامل را می دهند. در نتیجه ، ما آن را می یابیم<hat>سری فوریه در سمت راست (71) همگرا از زمان (

_n ) (o (n^) ) است. توجه داشته باشید که برای سرعت های کوچک v

این راه حل یک نوسان ساز به آرامی نوسان موضعی را توصیف می کند. برای سرعت های بزرگ ، می توان دریافت کرد

Our next step is to find the function (>^) , which is the solution of the nonlinear initial boundary value problems (48) and (50). Equation (48) for (>^) is nonlinear and extremely complicated to solve in general. However, if we take into account that (All 1) and (Omega ll 1) , i.e., consider small oscillations with a small frequency, then we observe that (>^,>^ ll>^) , and thus we can remove (>^) and (>^) in (g[>, q]) . Furthermore, to obtain an asymptotic approximation for (>^) , we can repeat the analysis as given earlier. We again use assumption (28), and therefore we can suppose that in (48) the expression for (g[u^, q]) is dominated by the frequency ( Omega ) in the functions (q, q_t, q_) . Then, according to (41), a natural approximation for (>این راه حل دو اصطلاح دارد. اصطلاح اول یک تابع سریع پوسیدگی (در y) را که توسط تعامل یخبندان ایجاد می شود ، توصیف می کند که با فرکانس ( omega ) نوسان می کند. اصطلاح دوم موج را به آرامی در (y = x-q ) کاهش می دهد. موج در امتداد میله یخ از لبه میله به (x = infty ) پخش می شود. میزان کاهش فضای تعامل ساختار میله یخ و موج متفاوت است. نرخ اول متناسب با ( sqrt ) و دومی به ( beta /2 ) است.

^):<<mathcal >> G_i=g_i) . Using the Fourier decomposition for (>جایی که توابع (g_i (y ، t) ) توسط تعریف می شوند (

^) و رابطه (42) ، یکی بدست می آید

Let us consider the function (>^(y,t)) . One can show that the (L_2) -norm of this function tends to zero in t with an exponential rate. In fact, using the Fourier integral for (>^) , one can show that all the Fourier coefficients decrease in time t with exponential rates. To this end, we first note that due to assumption (13) and relations (71) (74), the functions (>^) and (>^) also exponentially decay in y as (y ightarrow +infty ) . Let (u_0^(y,t)) , (u_1^(y,t)) be the odd extensions of (>^(y,t)) and (>_t^(y,t)) for all y , i.e., (u_0^(y,t)=>^(y,t)) and (u_1^(y,t)=>_t^(y,t)) for (y>0) and (>_0^(y,t)=->^(|y|, t)) , (>_1^(y,t)=->از (48) - (50) و با استفاده از (72) - (74) ، اکنون می توان (g_i (y ، t) ) را برای (i = 1،2،3 ) تعیین کرد ، بازده<0) . Then, (>_t^(| y | ، t) ) برای (y

_0^(y ، 0) ) یک عملکرد صاف و نمایی در حال کاهش در |y |وادگسترش فوریه را در نظر بگیرید<hat>از آنجا که (u_l^(y ، 0) ) یک تابع در حال کاهش نمایی است ، ضرایب (<hat>_k^(0) = r_k^) در k صاف هستند. بگذارید اکنون به Eq برگردیم.(51). از آن معادله ، فرد معادله دیفرانسیل خطی را برای بدست می آورد (

_k^(t) )

داده های اولیه کجا هستند

and (C_l(k)) are constants smoothly depending on k since they are linear combinations of smooth (r_l^) . Finally, we see that the Fourier coefficients of the solution (>^<(2>(y,t)) are smooth and exponentially decreasing functions in t . Therefore, the contributions in the equation for q ( t ) induced by (>^<(2>راه حل های آن معادله دیفرانسیل را می توان به طور مستقیم محاسبه کرد ،

(y ، t) ) برای زمان های بزرگ ضروری نیستند.

In this subsection, it will be shown which ODE the oscillator displacement function q ( t ) satisfies. At (y=0) , the boundary condition (14) becomes for (>تغییر شکل در لبه میله

The relations obtained in the previous subsections show that the deformation (>(y ، t) ):

$$x08egin S(t, q, q_t, q_)&=><x08ar<omega>> q + F_0(t) onumber \&quad + F_1(t) q_t + F_2(t)q_ onumber \&quad + F_3(t) q_t^2 + F_4(t) q q_t onumber \&quad + F_5(t) q q_ + F_6(t) q q_t^2, end$$

_y ) در (y = 0 ) فرم دارد

در نتیجه ، ما بدست می آوریم

ما همچنین به بیان نیاز داریم

$$x08egin ilde(t, q, q_t, q_)&=( ilde_ + ilde_q + ilde_ q_t) q_t^2 onumber \&quad + ( ilde_ + ilde_q) q_ q_t onumber \&quad + ( ilde_ + ilde_q) q_^3 + ilde_0 q_t, end$$

که فرم دارد

با استفاده از (86) ، (88) ، (89) و (90) ، یکی معادله زیر را برای q (t) بدست می آورد:

در بخش بعدی ، ODE برای Q (t) با استفاده از روش میانگین همانطور که در بخش 3 این مقاله ارائه شده است ، مورد بررسی قرار می گیرد.

بی ثباتی و سایر اثرات

معادلات A و ( phi )

در فرقه3 ، نشان داده شده است که محلول q (t) (97) را می توان با (q_0 = a ( tau) sin ( omega t + phi ( tau)) ) تقریب داد ، جایی که (A ( tau) ) و ( phi ( tau) ) به ترتیب باید (25) و (26) را برآورده کنند. از فرقه3 و از "پیوست" ، نتیجه می گیرد که (a ( tau) ) باید برآورده شود:

جایی که ضرایب (D_I ) نیز در "پیوست" آورده شده است. تجزیه و تحلیل تحلیلی و عددی عبارات مربوط به (D_I ) نشان می دهد که (D_I ) خواص زیر را دارند. ضریب (d_3 ) متناسب با پارامتر کوچک ( دلتا _0 ) است و منفی است. برای ( beta gg delta _0 ) و ( sqrt gg beta ) ، ضریب (d_0 ) حداکثر تیز دارد وقتی ( omega تقریبی omega ) ، یعنی وقتی. ما بین بار خارجی و نوسان ساز طنین انداز داریم. ضرایب دیگر (d_1 ، d_2 ) رزونانس ضعیف تری را برای (2 omega تقریبی omega ) و (3 omega تقریبی omega ) نشان می دهد. علاوه بر این ، برای ( beta gg delta _0 ) و ( sqrt gg beta ) ، یک رزونانس ضعیف بین نوسان ساز و ساختار یخ برای ( omega sqrt ) وجود دارد. وادتوجه داشته باشید که اگر ( beta ll delta _0 ) ، این آخرین رزونانس بسیار قوی تر از رزونانس بین نوسان ساز و بار خارجی (خرد شدن یخ) است. برای فاز ( phi ) ، یکی (همچنین به (26) مراجعه کنید):جایی که سمت راست به مرحله ( phi ) بستگی ندارد. معادله (99) می تواند به طور کامل به روش تحلیلی مورد مطالعه قرار گیرد. شکل 2 را برای توطئه های احتمالی P (A ، V) به عنوان تابعی از a در نظر بگیرید. چند جمله ای می تواند سه ریشه واقعی داشته باشد ، دو ریشه واقعی (که یکی از آنها از دو ریشه همزمان تشکیل شده است) یا یک ریشه واقعی واحد (A_1 ). در مورد سوم که ریشه منفرد یک جذب جهانی است ، یعنی ، (A ( tau) RightArrow A_1 (V) ) As ( Tau RightArrow + Infty ). در حالت اول اگر ریشه داشته باشیم (a_1 (v)

0 ) سپس (a ( tau) RightArrow A_1 ). اگر (a (0) = 0 ) و (a_2 gg 1 ) برای محدود (d_i ) و (a_1 = o (1) ). بنابراین ، هنگامی که (a_2 ) علامت تغییر می کند ، می توانیم انتقال از دامنه های نوسان ساز کوچک به موارد بزرگ را مشاهده کنیم. بنابراین ، Eq.(99) می تواند bifurcations دینامیکی را به عنوان تغییرات (d_i (v) ) توصیف کند. یک مدل هندسی از این bifurcations در شکل 2 نشان داده شده است.

وابستگی p (a ؛ v) به مقادیر مختلف v ، و برای ( دلتا _0 = 0. 3 ). باید مشاهده کرد که با شروع از مقادیر V کوچک ، منحنی P (A ؛ V) ابتدا برای افزایش مقادیر V حرکت می کند ، و سپس به طور ناگهانی برای مقادیر V در بین (V = 1. 2 ) و (v) حرکت می کند.= 1. 4 )

وابستگی دامنه تعادل A از Eq.(99) روی سرعت میله یخ V برای پارامترها (k_0 = 25 ) ، (d = 1 ) ، ( beta = 0. 2 ) ، ( bar = 4 ) و ( ( ( bar = 4 )دلتا _0 = 0. 1 )

وابستگی دامنه تعادل A از Eq.(99) روی سرعت میله یخ v برای پارامترها (k_0 = 2 ) ، (d = 1 ) ، ( beta = 0. 2 ) ، ( bar = 0 ) و ( ( ( ( bar = 0 )دلتا _0 = 0. 1 )

توطئه های دامنه در شکل ها آورده شده است. 3 و 4 ؛یعنی در این ارقام ، دامنه تعادل پایدار A از Eq.(99) به عنوان تابع v. طرح اول پرونده (k_0 gg omega ^2 ) را نشان می دهد ، و مورد دوم با یک وضعیت جالب تر مطابقت دارد وقتی (k_0 ) نزدیک به ( omega ^2 ) است. در مورد دوم ، ما یک رزونانس پیچیده تر بین بار خارجی ، میله و ساختار اسیلاتو ر-ICE بومی سازی شده در لبه میله داریم و توسط (71) تعریف می شود. به نظر ما این رزونانس منجر به افت شدید دامنه می شود همانطور که در آزمایشات مشاهده می شود [4].

وابستگی جابجایی نوسان ساز به موقع. مقایسه یک راه حل های بدون علامت و عددی~وابستگی جابجایی نوسان ساز در زمان برای مقادیر مختلف ویسکوزیته فله میله یخ در حین قفل فرکانس با سرعت Indention از (0. 023

hbox ^)~وابستگی جابجایی نوسان ساز به موقع در طول قفل فرکانس با سرعت تحریک (0. 023~وابستگی جابجایی نوسان ساز در زمان برای مقادیر مختلف ویسکوزیته فله میله یخ در حین قفل فرکانس با سرعت Indention از (0. 023

hbox ^)~وابستگی نیروی یخ به موقع در طول قفل فرکانس با سرعت Indion از (0. 023~وابستگی جابجایی نوسان ساز در زمان برای مقادیر مختلف ویسکوزیته فله میله یخ در حین قفل فرکانس با سرعت Indention از (0. 023

hbox ^)~وابستگی جابجایی نوسان ساز به موقع در طول قفل فرکانس با سرعت تحریک (0. 18~وابستگی جابجایی نوسان ساز در زمان برای مقادیر مختلف ویسکوزیته فله میله یخ در حین قفل فرکانس با سرعت Indention از (0. 023

hbox ^)

بحث و نتیجه گیری < SPAN> وابستگی جابجایی نوسان ساز در زمان در هنگام قفل فرکانس با سرعت Indention از (0. 023~ hbox ^) و خرد شدن شکننده مداوم با سرعت (0. 13~ hbox ^)~وابستگی نیروی یخ به موقع در طول قفل فرکانس با سرعت Indion از (0. 023~ hbox ^) و خرد شدن شکننده مداوم با سرعت (0. 13~ hbox ^)~وابستگی جابجایی نوسان ساز به موقع در طول قفل فرکانس با سرعت تحریک (0. 18~ hbox ^) و رژیم خرد کننده متناوب با سرعت (0. 02~ hbox ^)~بحث و نتیجه گیری وابستگی جابجایی نوسان ساز در زمان در هنگام قفل فرکانس با سرعت Indention از (0. 023~ hbox ^) و خرد شدن شکننده مداوم با سرعت (0. 13~ hbox ^)~وابستگی نیروی یخ به موقع در طول قفل فرکانس با سرعت Indion از (0. 023~ hbox ^) و خرد شدن شکننده مداوم با سرعت (0. 13

hbox ^)~وابستگی جابجایی نوسان ساز به موقع در طول قفل فرکانس با سرعت تحریک (0. 18~ hbox ^) و رژیم خرد کننده متناوب با سرعت (0. 02