چرا تئوری هرج و مرج مهم است؟

نویسندگان

1. Jonathan Borwein (جان) استاد برنده ریاضیات ، دانشگاه نیوکاسل
2. کاندیدای دکتری مایکل رز ، دانشکده علوم ریاضی و فیزیکی ، دانشگاه نیوکاسل

بیانیه افشای

جان بوروین بودجه را از قوس دریافت می کند

مایکل رز کار نمی کند ، مشورت می کند ، سهام خود را در اختیار شما قرار نمی دهد یا از هر شرکت یا سازمانی که از این مقاله بهره مند شود ، بودجه دریافت می کند و از این مقاله بهره می برد و هیچ وابستگی مربوط به آن فراتر از قرار ملاقات دانشگاهی خود را فاش نکرده است.

شرکای

دانشگاه نیوکاسل بودجه را به عنوان عضو مکالمه AU تأمین می کند.

ابرها کره نیستند ، کوه ها مخروط نیستند ... طبیعت نه تنها درجه بالاتری بلکه سطح کاملاً مختلف پیچیدگی را نشان می دهند.- Benoît Mandelbröt ، هندسه فراکتال طبیعت

هرج و مرج (N): غیرقابل پیش بینی ذاتی در رفتار یک سیستم طبیعی پیچیده.- فرهنگ لغت Merriam-Webster

نظریه هرج و مرج یک تضاد خوشمزه است - علمی برای پیش بینی رفتار سیستم های "ذاتاً غیرقابل پیش بینی". این یک ابزار ریاضی است که به ما امکان می دهد ساختارهای زیبا را از دریای هرج و مرج استخراج کنیم - پنجره ای به کارهای پیچیده سیستم های طبیعی متنوع مانند ضرب و شتم قلب انسان و مسیرهای سیارک ها.

به یکی از شگفت انگیز ترین زمینه های ریاضیات مدرن خوش آمدید.

در مرکز نظریه هرج و مرج ایده ای جذاب است که نظم و هرج و مرج همیشه به طور قطعی مخالف نیستند. سیستم های هرج و مرج ترکیبی صمیمی از این دو است: از خارج آنها رفتارهای غیرقابل پیش بینی و هرج و مرج را نشان می دهند ، اما کارهای درونی را در معرض نمایش قرار می دهند و مجموعه ای کاملاً قطعی از معادلات را کشف می کنید که مانند ساعت کار می کنند.

برخی از سیستم ها این فرضیه را به اطراف می چرخانند و اثرات منظم آن از دلایل آشفته و آشوب آور بیرون می آید.

چگونه می تواند در مقیاس کوچک هرج و مرج را در مقیاس بزرگتر تولید کند؟و چگونه می توانیم تفاوت بین تصادفی خالص و الگوهای منظم را که در هرج و مرج پوشیده شده اند بگوییم؟

پاسخ ها را می توان در سه ویژگی مشترک به اشتراک گذاشته شده توسط اکثر سیستم های هرج و مرج یافت.

پروانه ها همه تفاوت ها را ایجاد می کنند

تغییرات کوچک ... هرگز تکرار نکنید و بر نتیجه تأثیر بگذارد.- جف گلد بلوم ("ایان مالکوم") ، پارک ژوراسیک.

در سال 1961 ، یک هواشناسی به نام ادوارد لورنز یک کشف عمیق انجام داد.

لورنز در تلاش برای پیش بینی دقیق تر آب و هوا از قدرت جدید رایانه ها استفاده می کرد. او یک مدل ریاضی ایجاد کرد که وقتی مجموعه ای از شماره ها را نشان می دهد که آب و هوای فعلی را نشان می دهد ، می تواند چند دقیقه قبل هوا را پیش بینی کند.

پس از اتمام این برنامه رایانه ای ، لورنز می تواند با تغذیه هوا پیش بینی شده بارها و بارها به رایانه ، پیش بینی های طولانی مدت را تولید کند ، با این که هر یک از این پیش بینی ها بیشتر به آینده می روند.

پیش بینی های دقیق دقیقه به دقیقه به روزها و سپس هفته ها اضافه می شود.

یک روز ، لورنز تصمیم گرفت یکی از پیش بینی های خود را دوباره انجام دهد. به نفع صرفه جویی در وقت ، وی تصمیم گرفت از ابتدا شروع نکند. در عوض ، او پیش بینی رایانه را از نیمه راه اولین اجرا گرفت و از آن به عنوان نقطه شروع استفاده کرد.

پس از یک استراحت قهوه خوب ، او به کشف چیزی غیر منتظره بازگشت. اگرچه پیش بینی های جدید رایانه مانند گذشته آغاز شد ، اما دو مجموعه پیش بینی به زودی شروع به واگرایی با چشمگیر کردند. چه اشتباهی پیش رفته بود؟

لورنز به زودی فهمید که در حالی که رایانه در حال چاپ پیش بینی ها به سه مکان اعشاری است ، در واقع با استفاده از شش مکان اعشاری ، اعداد را در داخل کشور خرد می کند.

بنابراین در حالی که لورنز دومین دوره را با شماره 0. 506 شروع کرده بود ، اجرای اصلی از شماره 0. 506127 استفاده کرده بود.

تفاوت یک قسمت در هزار: همان نوع تفاوت که ممکن است یک فلپ یک پروانه به نسیم صورت شما تبدیل شود. شرایط آب و هوایی شروع تقریباً یکسان بوده است. این دو پیش بینی چیزی بود.

لورنز دانه های هرج و مرج را پیدا کرده بود. در سیستمهایی که به خوبی رفتار می کنند - بدون اثرات هرج و مرج - تفاوت های کوچک فقط اثرات کمی ایجاد می کند. در این حالت ، معادلات لورنز باعث ایجاد خطاها به مرور زمان می شد.

این بدان معنی است که خطاهای ریز در اندازه گیری آب و هوای فعلی کوچک نخواهد ماند ، اما هر بار که آنها به رایانه تغذیه می شدند ، بی امان افزایش می یابد تا زمانی که پیش بینی ها را به طور کامل خسته کنند.

لورنز مشهور این اثر را با قیاس یک پروانه که بال های خود را می چسباند ، نشان داد و از این طریق باعث شکل گیری طوفان نیمی از جهان دور شد.

یک راه خوب برای دیدن این "اثر پروانه ای" برای خودتان با بازی استخر یا بیلیارد است. مهم نیست که چقدر با اولین شات (استراحت) سازگار باشید ، کوچکترین اختلاف در سرعت و زاویه ای که با آن به توپ سفید ضربه می زنید باعث می شود هر بار بسته بیلیارد در جهات بسیار متفاوت پراکنده شود.

کوچکترین تفاوت ها در ایجاد جلوه های بزرگ - مشخصه یک سیستم هرج و مرج است.

شایان ذکر است که قوانین فیزیک که تعیین می کند چگونه توپ های بیلیارد حرکت دقیق و بدون ابهام دارند: آنها جایی برای تصادفی امکان پذیر نیستند.

آنچه در نگاه اول رفتار تصادفی به نظر می رسد کاملاً قطعی است - فقط به نظر می رسد تصادفی است زیرا تغییرات غیرقابل تصور همه تفاوت ها را ایجاد می کند.

میزان این تفاوتهای ریز و درشت ، هر سیستم هرج و مرج را با افق پیش بینی فراهم می کند - مدت زمانی که فراتر از آن نیستیم دیگر نمی توانیم رفتار آن را به طور دقیق پیش بینی کنیم.

در مورد آب و هوا ، افق پیش بینی امروزه حدود یک هفته است (به لطف ابزارها و مدل های اندازه گیری در حال پیشرفت).

حدود 50 سال پیش 18 ساعت بود. اعتقاد بر این است که دو هفته محدودیتی است که ما می توانیم به هر حال رایانه ها و نرم افزارهای بسیار بهتری به دست آوریم.

با کمال تعجب ، منظومه شمسی نیز یک سیستم هرج و مرج است - با افق پیش بینی صد میلیون سال. این اولین سیستم هرج و مرج بود که مدتها قبل از این نظریه هرج و مرج وجود داشت.

در سال 1887 ، ریاضیدان فرانسوی هنری پوینکار نشان داد که در حالی که تئوری گرانش نیوتن می تواند کاملاً پیش بینی کند که چگونه دو بدن سیاره ای تحت جاذبه متقابل خود قرار می گیرند ، و یک بدن سوم را به مخلوط اضافه می کند و معادلات را غیرقابل حل می کند.

بهترین کاری که می توانیم برای سه بدن انجام دهیم پیش بینی حرکات آنها لحظه به لحظه و تغذیه آن پیش بینی ها به معادلات ما است ...

اگرچه رقص سیارات دارای افق پیش بینی طولانی است ، اما اثرات هرج و مرج را نمی توان نادیده گرفت ، زیرا تداخل پیچیده ای از گرانش در بین سیارات تأثیر زیادی در مسیرهای سیارک ها دارد.

نگاه کردن به سیارک ها دشوار اما ارزشمند است ، زیرا چنین اثرات هرج و مرج ممکن است روزی با تعجب ناخواسته راه ما را جلب کند.

از طرف تلنگر ، آنها همچنین می توانند شگفتی های خارجی مانند فرمان دنباله دار را از یک برخورد بالقوه با زمین منحرف کنند.

رفتار جذاب و عجیب

ابتدا ، یک حرکت بسیار منظم_ به سمت جاذبه ... سپس یک حرکت بسیار نامنظم تر در _it.- ایان استوارت ، پیچ و خم جادویی.

ثبات در بسیاری از سناریوها مانند پرواز مطلوب است. هواپیماهای تجاری از نظر آیرودینامیکی پایدار هستند ، به طوری که یک گودال آشفته کوچک (احتمالاً مربوط به پروانه) هواپیما را از یک پرواز سطح خارج نمی کند.

با آرامش ، تغییر بزرگی در کنترل پرواز ایجاد می کند تا تغییر بزرگی در حرکت هواپیما ایجاد شود.

از طرف دیگر ، این ثبات تا حدودی ناراحتی برای خلبانان جنگنده است که هواپیمای خود را ترجیح می دهند با حداقل تلاش ، تغییرات سریع را انجام دهند.

جت های جنگنده مدرن به دلیل اینکه از نظر آیرودینامیکی ناپایدار هستند ، به مانور بزرگی می رسند - کوچکترین گنگ برای تغییر چشمگیر پرواز آنها کافی است.

در نتیجه ، آنها مجهز به رایانه های داخل هواپیما هستند که به طور مداوم و ظریف سطوح پرواز را تنظیم می کنند تا جلوه های پروانه ناخواسته را لغو کنند و خلبان را آزاد کند تا از خود سوء استفاده کند.

اگر می توانید سیستم های هرج و مرج اساسی الگوی را از بین ببرید ، می توانید یک اندازه گیری کنترل بر تصادفی را انجام داده و بی ثباتی را به یک دارایی تبدیل کنید.

کلید باز کردن قفل ساختار پنهان یک سیستم هرج و مرج در تعیین مجموعه رفتارهای ترجیحی آن است - که برای ریاضیدانان به عنوان جذب آن شناخته می شود.

ریاضیدان ایان استوارت از مثال زیر برای نشان دادن یک جاذبه استفاده کرد.

تصور کنید که یک توپ پینگ پنگ را به دور از اقیانوس می گیرید و رها می کنید. اگر بالای آب آزاد شود ، سقوط خواهد کرد و در صورت آزاد شدن در زیر آب ، شناور می شود.

مهم نیست که از کجا شروع می شود ، توپ بلافاصله به روشی بسیار قابل پیش بینی به سمت جذب کننده خود - سطح اقیانوس حرکت می کند. هنگامی که در آنجا به جاذبه خود می چسبد و در یک دریای تحت اللفظی هرج و مرج قرار می گیرد و از آن خارج می شود و اگر به طور موقت از بالا پرتاب شود یا زیر امواج ریخته شود ، به سرعت به سطح حرکت می کند.

اگرچه ممکن است ما نتوانیم دقیقاً پیش بینی کنیم که چگونه یک سیستم هرج و مرج لحظه به لحظه رفتار خواهد کرد ، دانستن این جاذبه به ما امکان می دهد تا امکانات را محدود کنیم.

همچنین به ما این امکان را می دهد تا پیش بینی کنیم که چگونه سیستم در صورت خاموش کردن جاذبه خود ، چگونه پاسخ خواهد داد.

ریاضیدانان از مفهوم "فاز فاز" برای توصیف رفتارهای احتمالی یک سیستم به صورت هندسی استفاده می کنند.

فضای فاز مانند فضای معمولی (همیشه) نیست - هر مکان در فاز با پیکربندی متفاوت سیستم مطابقت دارد.

رفتار سیستم را می توان با قرار دادن یک نقطه در مکان که نشان دهنده پیکربندی شروع و تماشای نحوه حرکت آن نقطه در فضای فاز است ، مشاهده کرد.

در فاز فاز ، یک سیستم پایدار به طور قابل پیش بینی به سمت یک جاذبه بسیار ساده حرکت می کند (که در صورت تسویه حساب سیستم ، مانند یک نقطه واحد در فضای فاز خواهد بود ، یا اگر سیستم بین تنظیمات مختلف به طور مکرر تغییر کند) یک حلقه ساده است.

یک سیستم هرج و مرج نیز به طور قابل پیش بینی به سمت جذب خود در فضای فاز حرکت می کند - اما به جای نقاط یا حلقه های ساده ، می بینیم که "جاذبه های عجیب" به نظر می رسند - شکل های پیچیده و زیبا (معروف به Fractals) که پیچ خورده و می چرخند ، در تمام مقیاس های ممکن کاملاً دقیق استبشر

شاخه ریاضیات فراکتال ، که توسط ریاضیدان فرانسوی آمریکایی Benoît Mandelbröt پیشگام شده است ، به ما اجازه می دهد تا با رفتار ارجح این سیستم به دست بیاوریم ، حتی اگر شکل فوق العاده پیچیده جاذبه مانع از پیش بینی ما شود که دقیقاً چگونه سیستم یک بار تکامل می یابدبه آن می رسد

فضای فاز ممکن است نسبتاً انتزاعی به نظر برسد ، اما یک کاربرد مهم در درک ضربان قلب شما نهفته است. میلیون ها سلول که قلب شما را تشکیل می دهند ، دائماً به عنوان بخشی از یک سیستم پر هرج و مرج پیچیده با جاذبه های پیچیده ، به طور جداگانه در حال انقباض و استراحت هستند.

این میلیون ها سلول باید در همگام سازی کار کنند و فقط در یک دنباله مناسب فقط در زمان مناسب برای تولید ضربان قلب سالم منقبض شوند.

خوشبختانه ، این حالت پیچیده هماهنگ سازی یک جذب کننده سیستم است - اما تنها آن نیست. اگر این سیستم به نوعی دچار مشکل شود ، ممکن است خود را بر روی یک جاذبه کاملاً مختلف به نام فیبریلاسیون پیدا کند ، که در آن سلول ها به طور مداوم در دنباله اشتباه منقبض شده و استراحت می کنند.

هدف از ضریب فشار خون - دستگاهی که ولتاژ بزرگی از برق را در قلب اعمال می کند - "راه اندازی مجدد" سلول های قلب به این ترتیب نیست ، بلکه این است که سیستم هرج و مرج را به اندازه کافی از یک ضربه به دست آوریم تا آن را از جاذبه فیبریلاسیون خارج کند وبازگشت به جذب کننده ضربان قلب سالم.

اصلی ترین مزیت برای داشتن قلب هرج و مرج این است که تغییرات ریز در نحوه قرارداد این میلیون ها سلول برای توزیع بار به طور مساوی ، کاهش سایش و پارگی روی قلب شما و اجازه دادن به پمپ کردن ده ها سال طولانی تر از آنچه در غیر این صورت امکان پذیر است.

آبشار به هرج و مرج

جهانی بودن تفاوت بین زیبا و مفید را ایجاد کرد.- جیمز گلیک ، هرج و مرج

نظریه هرج و مرج صرفاً مشیت ریاضیدانان نیست. این امر برای ترسیم متخصصان بسیاری از زمینه های متنوع - فیزیکدانان و زیست شناسان ، دانشمندان رایانه و اقتصاددانان قابل توجه است.

نه تنها سیستم های هرج و مرج را می توان تقریباً در هر جایی که به آن نگاه می کنید پیدا کنید ، بلکه بسیاری از ویژگی های مشترک را به طور مستقل از جایی که از کجا آمده اند به اشتراک می گذارند.

هر دو شیر آب چکه و هلیوم مایع فوق العاده را در نظر بگیرید که Collider بزرگ هادرون از آن به عنوان یک مایع خنک کننده استفاده می کند (که باعث می شود قسمت هایی از LHC از فضای عمیق سردتر شود).

هر دو سیستم غیر چوتیک هستند - در ابتدا - اما همانطور که به آرامی هلیوم را گرم می کنید ، سلولهای همرفتی ریز شروع به شکل گیری می کنند و هرچه به آرامی شیر را باز می کنید ، صداهای قطره ای در شخصیت تغییر می کنند.

سرانجام افزایش دما و جریان آب به ترتیب در هرج و مرج هلیوم جوش و آب با عجله آبشار می شود.

با کمال تعجب ، انتقال از سفارش به هرج و مرج در این سیستم ها با همان تعداد - ثابت ثابت Feigenbaum کنترل می شود.

از شیرجه زدن به شیرها تا LHC ، از قلب ضرب و شتم گرفته تا رقص سیارات ، هرج و مرج در اطراف ما است.

نظریه هرج و مرج توجه همه را به چیزهایی بازگرداند که ما زمانی فکر می کردیم که می فهمیدیم ، و به ما نشان داد که طبیعت به مراتب پیچیده تر و تعجب آور از آنچه که تاکنون تصور کرده بودیم است.